| Pagina principala |
Ghidul utilizatorului |
Rubrica candidatului |
Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva |
Matematica distractiva|
Formule, dictionare |
Avizuri |
|Pagini din istorie |
Examene, teste |
Bibliografie |
Link-uri |
Site map |
Progresii aritmetice si geometrice
Progresia aritmetica.
Definitia 1. Sirul numeric (an)n
Î N se numeste progresie aritmetica,
daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat
an+1 - an = d,
("n Î N)
| (1) |
adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu
precedentul plus unul si acelasi numar (ratia).
Elementul an se numeste termen general al progresiei sau
termen de rang n.
Exemplul 1. Sa se verifice daca sirurile ce urmeaza formeaza o
progresie aritmetica
a) an = 2n - 1,
b) 3, 6, 9, ..., 3k, ...
c) an = 1/n.
Rezolvare. a) Cum diferenta an+1 -
an reprezinta un numar constant
an+1 - an =
2(n + 1) - 1 - (2n - 1) = 2
pentru orice n Î N, rezulta ca sirul dat de
termenul general an = 2n - 1 reprezinta o progresie
aritmetica cu ratia 2, si anume
1, 3, 5, ..., 2n - 1, ...
b) Similar exemplului a) se obtine
an+1 - an =
3(n + 1) - 3n = 3, ("n
Î N)
si prin urmare sirul dat formeaza o progresie aritmetica cu ratia 3.
c) Se scriu primii trei termeni ai sirului a1 = 1,
a2 = 1/2,
a3 = 1/3 si se observa ca
a2 - a1 = -1/2
¹ a3 - a2 =
-1/6, adica sirul dat nu formeaza o progresie aritmetica.
Altfel, se considera diferenta
si se observa ca ea depinde de n (nu este un numar constant) si prin urmare sirul
dat nu este o progresie aritmetica.
Proprietati ale progresiei aritmetice
Demonstratiile proprietatilor ce urmeaza, pot fi gasite, de exemplu, in
[1].
P1. Termenul general al progresiei aritmetice se poate determina prin formula
unde a1 - primul termen al progresiei, d - ratia ei.
P2. (Proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice). Termenul
de rang n este media aritmetica a termenilor echidistanti de el:
an-k + an+k =
2·an,
|
(3) |
Nota. Din propretatea P2 rezulta ca conditia necesara si
suficienta ca
a) trei numere a, b, c (in ordinea data) sa formeze o progresie
aritmetica este
b) trei numere a, b, c (fara precizarea consecutivitatii) sa formeze o
progresie aritmetica este
(2b - a - c)(2c - a - b)(2a -
b - c) = 0.
|
(5) |
P3. Daca a1, a2, ...,
an, ... este o progresie aritmetica si
k + n = m + p
(k,n,m,p Î N), atunci
P4. Formula sumei Sn primilor n termeni ai progresiei
aritmetice:
|
(7) |
sau tinand seama de (2)
|
(8) |
Definitia 2. Progresia aritmetica este un sir crescator
(descrescator), daca si numai daca ratia ei este un numar pozitiv (negativ). Daca ratia
progresiei este zero avem un sir constant.
In continuare sa anlizam cateva exemple.
Exemplul 2. Sa se determine progresia aritmetica, daca a3 = 2
si a5 = -2.
Rezolvare. Se aplica formula teremenul general al progresiei
aritmetice si se obtine sistemul
![](t0x.gif) |
a3 = a1 + 2d, |
a5 = a1 + 4d, |
sau, tinand seama de conditiile problemei obtinem
![](t0x.gif) |
a1 + 2d = 2, |
a1 + 4d = -2, |
de unde se obtine primul termen al progresiei a1 = 6 si ratia progresiei
d = -2.
Exemplul 3. Sa se determine numarul x, astfel ca numerele
a - x, x, b (a, b fiind date), luate in aceasta
ordine sa formeze o progresie aritmetica.
Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice
si se obtine ecuatia liniara
2x = a - x + b,
cu solutia
Exemplul 4. Sa se determine progresia aritmetica, suma primilor n termeni ai
careia se exprima prin formula
Sn = 3n2 + 6n
(n ³ 1).
Rezolvare. Cum suma primilor (n - 1) termeni este
Sn-1 = 3(n - 1)2 + 6(n - 1) =
3n2 - 3,
(n ³ 2)
si cum Sn - Sn-1 =
an, rezulta
an = 3n2 + 6n -
3n2 + 3 = 6n + 3.
Substituind in formula termenului general, consecutiv n = 1, 2, 3, ... se obtine
a1 = 9, a2 = 15, a3 = 21, ...
Exemplul 5. Sa se determine suma primilor nouasprezece termeni ai progresiei
aritmetice a1, a2, a3, ..., daca
a4 + a8 + a12 +
a16 = 224.
Rezolvare. Se observa ca 4 + 16 = 8 + 12 si, prin urmare,
(a se vedea (6)) a4 + a16 =
a8 + a12. Se tine seama ca suma acestor
termeni este 224, si se obtine a4 + a16 = 112.
Cum (a se vedea (7))
si
a1 + a19 =
a4 + a16 = 112 (1 + 19=4 + 16), rezulta
Exemplul 6. Pentru ce valori ale parametrului a exista asa valori ale
variabilei x astfel incat numerele
51+x + 51-x,
a/2,
25x + 25-x
sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Rezolvare. Conform proprietatii caracteristice a progresiei aritmetice, se obtine
ecuatia
a = 51+x + 51-x +
25x + 25-x.
Se observa ca pentru a £ 0 ecuatia nu are solutii
(membrul din dreapta, ca suma de termeni pozitivi, este un numar pozitiv).
Cum ax + y =
ax·ay,
(a > 0, a ¹ 1), ecuatia se scrie
Se noteaza ,
t ³ 2 (suma a doua marimi pozitive inverse), atunci
si ecuatia devine
t2 + 5t - (a + 2) = 0.
Cel putin o radacina a acestei ecuatii urmeaza a fi mai mare ca doi (ecuatia data are doua
radacini reale distincte, deoarece pentru a > 0, -(a+2) < 0 si coeficientul
de pe langa t2, 1 > 0), pentru ce este suficient ca sa se verifice sistemul
![](t0x.gif) |
-b/2a < 2, |
f(2) £ 0, |
|
sau |
![](t0x.gif) |
-5/2 < 2, |
4 + 10 - (a + 2) £ 0, |
|
de unde a ³ 12. |
Exemplul 7. Sa se determine suma tuturor numerelor pare de trei cifre, divizibile la 3.
Rezolvare. Primul numar par de trei cifre, divizibil la 3 este 102. Cum numarul par,
divizibil la 3 se divide si la 6, se obtine progresia
102, 108, 114, ..., 996,
cu a1 = 102, d = 6 si ultimul termen
ax = 996 (x Î N).
Se tine seama ca ax = a1 + (x - 1)d
sau
102 + (x - 1)·6 = 996,
de unde, numarul tuturor numerelor pare de trei cifre divizibile prin trei, x = 150.
Astfel, utilizand formula (7) se obtine
Exemplul 8. Fie Sn, Sm si
Sp suma primilor n, respectiv m si p,
termeni ai progresiei aritmetice a1, a2,
a3, .... Sa se arate ca
|
(9) |
Rezolvare. Se tine seama de formula (8) si egalitatea
(9) devine
sau
2a1[m - p + p - n + n - m] +
[(n - 1)(m - p) + (m - 1)(p - n) +
(p - 1)(n - m)]d = 0.
Cum
(n - 1)(m - p) + (m - 1)(p - n) +
(p - 1)(n - m) = |
= nm - np - m + p +
mp - mn - p + n + pn - pm - n + m = 0
|
se obtine
2a1·0 + 0·d = 0, adica 0 = 0,
si prin urmare, egalitatea este demonstrata.
Exemplul 9. Sa se determine numerele, ce sunt termeni comuni ai progresiilor
aritmetice 2, 5, 8, ..., 332 si 7, 12, 17, ..., 157.
Rezolvare. Fie b este termenul de rang n in prima progresie si,
prin urmare, b = 2 + (n - 1)·3 si in acelasi timp, este termenul
de rang m in a doua progresie, adica b = 7 + (m - 1)·5.
Asadar se obtine ecuatia
2 + (n - 1)·3 = 7 + (m - 1)·5,
sau
3(n - 1) = 5m
de unde, tinand seama ca m, n sunt numere naturale, se obtine
n = 5k + 1 si m = 3k,
k Î N, adica termenii
a6, a11, a16, ...,
a5k+1 din prima progresie coincid cu termenii
c3, c6, c9, ...,
c3k, din a doua progresie. Asadar, termenii comuni sunt:
17, 32, 47, 62, 77, 92, 107, 122, 137 si 152.
Exemplul 10. Suma a trei numere pozitive a,
b si g este egala cu
p/2. Sa se determine produsul
ctga· ctgg daca
ctga, ctgb,
ctgg formeaza o progresie aritmetica.
Rezolvare. Se tine seama de proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice
si se obtine relatia
2ctgb = ctga +
ctgg.
Cum a + b + g =
p/2 implica b =
p/2 - (a +
g),
se utilizeaza formula de reducere
ctg(p/2 - x) =
tgx si se obtine
2tg(a + b) =
ctga + ctgb
sau, folosind formulea tangentei sumei a doua unghiuri
de unde,
sau, tinand seama ca a,
b si g sunt numere pozitive
si sumalor este p/2
(tgatgg ¹ 1,
tga ¹ 0,
tgg ¹ 0) se obtine
2tgatgg = 1 -
tgatgg
de unde rezulta tgatgg =
1/3 si, prin urmare,
ctgactgg = 3.
Exemplul 11. Fie ecuatia patrata x2 + px + q = 0
cu radacinile reale x1 si x2.
Sa se determine p si q astfel incat q,
x1, p, x2 (in ordinea indicata) sa formeze
o progresie aritmetica crescatoare.
Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice,
teorema lui Viete si se obtine sistemul
![](t0x.gif) |
2x1 = q + p, |
2p = x1 + x2, |
x1 + x2 = -p, |
x1x2 = q, |
cu solutiile
![](t0x.gif) |
q = -4, |
x1 = -2, |
p = 0, |
x2 = 2, |
|
si |
![](t0x.gif) |
q = 0, |
x1 = 0, |
p = 0, |
x2 = 0 |
|
Cum progresia urmeaza a fi crescatoare, ramane q = -4,
x1 = -2, p = 0, x2 = 2 si prin urmare
ecuatia patrata ce verifica conditiile problemei date este
x2 - 4 = 0 cu p = 0 si q = -4.
Exemplul 12. Sa se determine primii trei termeni ai unei progresii aritmetice,
descrescatoare, daca a1 + a3 + a5 = -24
si a1a3a5 = 640.
Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea P3 si se determina
a3 = -8, dupa ce se obtine sistemul
![](t0x.gif) |
a1 + a5 = -16, |
a1a5 = -80, |
cu solutiile a¢1 = -20,
a¢5 = 4 si
a¢¢1 = 4,
a¢¢5 = -20.
Cum progresia este descrescatoare (d < 0) ramane
a1 = 4 si a5 = -20. Se utilizeaza
P3 si se obtine
Asadar primii trei termeni
ai progresiei sunt 4, -2 si -8.
Progresia geometrica
Definitia 2. Sirul numeric (bn)n
Î N se numeste progresie geometrica,
daca exista asa un numar q, numit ratia progresiei, astfel incat
bn+1 = bn·q,
("n Î N)
adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu produsul dintre
termenul precedent si unul si acelasi numar (ratia).
Elementul bn se numeste termen general al progresiei de rang n.
Urmatoarele siruri reprezinta progresii geometrice:
2, 4, 8, ..., 2n, ... |
cu b1 = 2 si q = 2, |
3, -1, 1/3, -1/3,... |
cu b1 = 3 si q = -1/3, |
a, a, a, ... |
cu b1 = a si q = 1, |
a, 0, 0, ... |
cu b1 = a si q = 0 |
Tinem sa mentionam, ca daca unul din termenii progresiei geometrice este egal cu zero, atunci
sau b1 = 0 sau q = 0.
Proprietatile progresiei geometrice
P5. Termenul de rang n al progresiei geometrice se determine prin formula
bn = b1·qn-1,
("n Î N).
|
(11) |
P6. (Proprietatea caracteristica a unei progresii geometrice). Patratul termenului
de rang n este egal cu produsul termenilor echidistanti de el:
|
(12) |
in caz particular, pentru orice trei termeni consecutivi
|
(13) |
Nota. Formulele (12), (13) se pot scrie
si astfel
|
(14) |
|
(15) |
adica modulul termenului de rang n este media geometrica a termenilor echidistanti de el.
In cazul progresiei cu termeni pozitivi insasi termenul de rang n este media
geometrica a termenilor echidistanti de el
|
(16) |
P7. Daca k + n = m + p
(k, n, m, p Î N), atunci
unde bk, bn,
bm, bp - termeni ai progresiei
geometrice b1, b2, ....
P8. Trei numere a, b, c formeaza o progresie geometrica
(fara a preciza consecutivitatea lor) daca si numai daca verifica relatia:
(a2 - bc)(b2 -
ac)(c2 - ab) = 0,
|
(18) |
iar numerele a, b, c formeaza o progresie geometrica
(in ordinea indicata) daca si numai daca
b2 = ac.
P9. Suma primilor n termeni Sn ai unei progresii
geometrice se determina prin formula
|
(19) |
unde b1 - primul termen, q - ratia, si bn - termenul general al progresiei geometrice.
In caz q = 1 suma primilor n termeni se determina prin formula
P10. Suma S a tuturor termenilor ai progresiei geometrice infinit descrescatoare
(|q| < 1) se determina prin formula
|
(21) |
In continuare sa analizam cateva exemple.
Exemplul 13. Produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice este egal cu
1728, iar suma lor este egala cu 63. Sa se determine primul termen si ratia progresiei.
Rezolvare. Fie primii termeni ai progresiei
b1, b2 si b3. Atunci din conditia
b1b2b3 = 1728 rezulta (a se vedea
(12)) si
b2 = 12. Astfel se obtine sistemul:
![](t0x.gif) |
b1b3 = 144, |
b1 + b3 = 51, |
solutiile caruia sunt si solutiile (a se vedea teorema reciproca a lui Viete) ecuatiei patrate
z2 - 51z + 144 = 0.
Se rezolva ecuatia si se obtine z1 = 3 si z2 = 48,
adica b1 = 3, b3 = 48 sau
b1 = 48, b3 = 3.
Cum b1 = 3, b2 = 12 sau
b1 = 48 si b2 = 12 se obtine q = 4 sau
q = 1/4. Asadar solutiile problemei sunt
b1 = 3 si q = 4 sau b1 = 48 si
q = 1/4.
Exemplul 14. Intr-o progresie geometrica cu termeni pozitivi termenul de rangul
(m + n) este egal cu p, iar termenul de rangul
(m - n) (m > n) este s. Sa se determine
termenul de rang m si termenul de rang n.
Rezolvare. Cum (a se vedea (11))
rezulta si cum
bm > 0, se obtine
Conform conditiilor problemei si formulei (10 ) avem
![](t0x.gif) |
b1qm+n-1 = p, |
b1qm-n-1 = s, |
de unde si prin urmare
Cum
b1qm+n-1 =
b1qn-1·qm =
bn·qm = p,
rezulta
Exemplul 15. Sa se calculeze suma
Rezolvare. Avem
sau
9/7·Sn =
(10 - 1) + (100 - 1) + (103 - 1) + ... + (10n - 1)
de unde
9/7·Sn =
(10 + 102 + 103 + ... + 10n) - n.
Cum in paranteze se afla suma primilor n termeni ai progresiei geometrice cu
primul termen b1 = 10 si ratia q = 10 se utilizeaza formula
(19) si se obtine
de unde
Exemplul 16. Sa se arate ca numerele 9, 10, 11 nu pot fi termeni ai unei progresii
geometrice.
Rezolvare. Fie ca numerele date sunt termeni ai progresiei geometrice cu primul termen
b1 si ratia q. Atunci
9 = b1qk-1,
10 = b1qn-1 si
11 = b1qm-1, de unde rezulta
Asadar
de unde
Cum m, n, k sunt numere naturale diferite, aceasta egalitate nu are
loc si, prin urmare, numerele 9, 10, si 11 nu pot fi termeni ai unei progresii geometrice.
Exemplul 17. Numerele a, b, c, d formeaza o progresie
geometrica. Sa se arate ca (a - c)2 +
(b - c)2 + (b - d)2 =
(a - d)2.
Rezolvare. Se dezvolta membrul din stanga egalitatii
A = a2 - 2ac + c2 +
b2 - 2bc + c2 + b2 -
2bd + d2.
Se tine seama ca b2 = ac, c2 = bd si
bc = ad (a se vedea (12) si (17)),
si se obtine
A = a2 - 2b2 + c2 +
b2 - 2bc + c2 + b2 -
2c2 + d2 = a2 - 2bc +
d2 = a2 - 2ad + d2 =
(a - d)2.
Exemplul 18. Suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescatoare este
egal cu 4, iar suma cuburilor termenilor ei este egala cu 192. Sa se determine termenul de
rang 5.
Rezolvare. Fie b1 si q - primul termen si ratia progresiei geometrice date.
Atunci |q| < 1 si
Se observa ca cuburile termenilor progresiei initiale la fel formeaza o progresie geometrica
infinit descrescatoare cu primul termen
si ratia
q3. In adevar, cum
rezulta
Astfel se obtine sistemul
Se determina b1 din prima ecuatie:
b1 = 4(1 - q) si se substituie in a doua:
de unde (|q| < 1) rezulta ecuatia
(1 - q)2 = 3(1 + q + q2)
sau
2q2 + 5q + 2 = 0
cu solutiile q1 = -2 si q2 =
-1/2. Cum |q| < 1 ramane q = -1/2
si prin urmare b1 = 6. Se utilizeaza formula termenului de rang
n si se obtine
Exemplul 19. Sa se rezolve ecuatia:
Rezolvare. Se observa ca in numaratorul membrului din stanga se afla suma termenilor
unei progresii geometrice infinit descrescatoare cu primul termen
b1 = 1 si ratia q1 = tgx, iar in numitorul
membrului din stanga - suma termenilor unei progresii geometrice
infinit descrescatoare cu primul termen 1 si ratia (-tgx).
Cum |tgx| < 1 ecuatia se scrie
sau
Cum
iar ecuatia devine
de unde rezulta totalitatea
sau
Cum |tgx| < 1, ramane x = pn,
n Î Z.
Probleme combinate
Exemplul 20. Sa se determine numerele a, b si c daca se stie ca
a, b, c sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice;
a, b + 2, c formeaza o progresie aritmetica,
iar a, b + 2, c + 9 formeaza o progresie geometrica.
Rezolvare. Se utilizeaza proprietatile caracteristice ale progresiilor geometrice si
aritmetice si se obtine sistemul
![](t0x.gif) |
b2 = ac, |
2(b + 2) = a + c, |
(b + c)2 = a(c + 9), |
cu solutiile a = 4, b = 8, c = 16 sau
si
Exemplul 21. Sa se arate, ca daca numerele pozitive a, b, c
sunt respectiv termenii de rang m, n, p atat a unei progresii
aritmetice cat si geometrice, atunci
ab-c·bc-a·ca-b = 1.
Rezolvare. Conform conditiilor
a = a1 + (m - 1)d, |
b = a1 + (n - 1)d, |
c = a1 + (p - 1)d, |
|
(22) |
unde a1 si d desemneaza primul termen si ratia progresiei aritmetice.
Din egalitatile (22) rezulta
b - c = (n - p)d,
c - a = (p - m)d si
a - b = (m - n)d.
|
(23) |
In acelasi timp
a = b1qm-1,
b = b1qn-1,
c = b1qp-1,
|
(24) |
unde b1 si q sunt primul termen si ratia progresiei geometrice.
Se tine seama de egalitatile (23) si (24) si se obtine
Exemplul 22. Sa se determine triunghiurile, lungimile laturilor carora formeaza o
progresie geometrica, iar marimile unghiurilor - o progresiei aritmetica.
Rezolvare. Fie a, b,
g - unghiurile interioare ale unui triunghi, opuse laturilor
a, b si c. Cum a + b +
g = 180° si
a = b - d,
g = b + d unde
d - ratia progresiei aritmetice, se obtine
b - d + b +
b + d = 180°
de unde b = 60°.
Conform teoremei cosinusurilor
b2 = a2 + c2 -
2accosb.
Cum b2 = ac, si cosb =
1/2, rezulta
ac = a2 + c2 - ac
de unde a2 - 2ac + c2 = 0 sau
(a - c)2 = 0 si a = c.
Astfel se obtine un triughi isoscel (a = c) cu unghiul cuprins intre aceste
laturi egal cu 60°, adica un triuhgi echilateral.
Exemplul 23. Sirul de numere pozitive a1,
a2, ..., an, ... formeaza o progresie
aritmetica, iar sirul b1, b2, ...,
bn, ... - o progresie geometrica. Sa se arate ca
pentru orice n natural, n > 2
an < bn,
daca a1 ¹
a2, a1 = b1 si
a2 = b2.
Rezolvare. Fie d - ratia progresiei aritmetice si q - ratia progresiei
geometrice. Cum a1 = b1 si
a2 = b2 se obtine
a1 + d = a1·q,
de unde si
d = a1(q - 1) > 0. Asadar,
an = a1 + (n - 1)d =
a1 + (n - 1)a1(q - 1) =
a1(1 + (n - 1)(q - 1)) |
bn = b1qn-1 =
a1qn-1 |
si urmeaza sa demonstram inegalitatea
a1(1 + (n - 1)(q - 1)) <
a1qn-1
sau, cum a1 > 0,
1 + (n - 1)(q - 1) < qn-1.
Ultima inegalitate rezulta nemijlocit din inegalitatea lui Bernoulli (a se vedea tema
"Principiul Inductiei Matematice" sau "Inegalitati").
Altfel, se considera diferenta
(s-a tinut seama ca reprezinta
suma primilor n - 2 termeni ai progresiei geometrice cu
b¢1 = 1 si
q¢ = q).
Cum q > 1 si, prin urmare qk > 1,
k Î N, se obtine
1 + q + q2 + ... + qn-2 -
(n - 1) > 0
iar produsul (1 - q)(1 + q + q2 + ... +
qn-2 - (n - 1)) < 0. Prin urmare si
1 + (n - 1)(q - 1) - qn-1 < 0,
adica an < bn, n > 2.
Exemplul 24. Sa se determine progresiile ce sunt concomitent si aritmetice si
geometrice.
Rezolvare. Fie a1, a2, ...,
an, ... progresiile aritmetica si geometrica.
Atunci 2ak+2 = ak+1 +
ak+3, si 2a1qk+1 =
a1qk +
a1qk+2 sau
a1qk -
2a1qk+1 +
a1qk+2 = 0, de unde se obtine
a1qk(1 - 2q + q2) = 0,
a1qk(1 - q)2 = 0.
Asadar, daca a1q ¹ 0 rezulta
q = 1, adica progresia reprezinta un sir constant
a1, a1, ..., a1, ...
(d = 0, q = 1).
Daca a = 0, se obtine sirul constant 0, 0, ..., 0, ...
(d = 0, q Î R), iar
daca q = 0, a ¹ 0 solutii nu sunt.
Probleme recapitulative
- Fie a1, a2, ..., an, ...
- o progresie aritmetica cu termeni pozitivi. Sa se arate ca
- Sa se arate ca
unde a1, a2, ..., an+1, ...
sunt termeni nenuli ai unei progresii aritmetice.
- Sa se determine numerele de trei cifre, divizibile prin 45, cifrele carora formeaza o
progresie aritmetica.
- Sa se rezolve ecuatiile
2 + 5 + 8 + 11 + ... + x = 155
- Sa se determine suma tuturor numerelor pare de doua cifre.
- Sa se afle a1 + a6 + a11 +
a16 daca a1, a2, ...,
an, ... o progresie aritmetica si
a1 + a4 + a7 + ... +
a16 = 1447.
- Sa se determine valorile lui x pentru care numerele lg2,
lg(2x - 1), lg(2x + 3)
sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.
- Sa se arate ca numerele
nu pot fi termeni ai unei progresii aritmetice.
- Fie Sn, S2n,
S3n respectiv sumele primilor n, 2n, 3n
termeni ai aceleiasi progresii geometrice. Sa se arate ca este justa relatia
Sn(S3n - S2n) =
(S2n - Sn)2.
- Sa se determine patru numere in progresie aritmetica stiind ca suma lor este 48, iar
raportul dintre produsul termenilor extremi si produsul la ceilalti doi termeni este
- Sa se determine o progresie geometrica, continand sapte termeni, daca suma primilor trei
termeni este egala cu 26, iar suma ultimilor trei este egala cu 2106.
- Sa se arate ca numerele
formeaza o progresie geometrica.
- Sa se determine trei numere, ce formeaza o progresie geometrica, daca suma lor este egala
cu 62, iar suma patratelor acestor numere este egala cu 2604.
- Numerele a1, a2, a3 formeaza
o progresie aritmetica, iar patratele lor o progresie geometrica. Sa se determine aceste
numere, daca suma lor este egala cu 21.
- Sa se determine progresia aritmetica, daca suma primilor ei zece termeni este egala cu
300, iar primul termen, termenul de rang doi si termenul de rang cinci formeaza o
progresie geometrica.
Referinte
- P.Cojuhari si altii. Progresii aritmetice si geometrice. Mica biblioteca a elevului.
Seria Matematica, informatica. Chisinau, Editura ASRM, 1995.
| Pagina principala |
Ghidul utilizatorului |
Rubrica candidatului |
Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva |
Matematica distractiva|
Formule, dictionare |
Avizuri |
|Pagini din istorie |
Examene, teste |
Bibliografie |
Link-uri |
Site map |
|