Определение. Алгебраическим выражением называется выражение, получаемое из постоянных и переменных при помощи операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня. Примеры алгебраических выражений: Определение. Областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) алгебраического выражения E(x1, x2, ..., xn) (D(E)) называется множество всех наборов (x1, x2, ..., xn), для которых выражение E(x1, x2, ..., xn) имеет смысл. Например, ОДЗ выражения является D(E) = {(x,y) | x Î R, y Î R, xy ≠ 0}, ОДЗ выражения является множество {(x,y,z) | x, y, z Î R, xy ≥ 0}. Определение. Алгебраические выражения E1 и E2 называются тождественно равными на множестве M Ì D(E1)ÇD(E2), если при любых значениях переменных из M соответствующие числовые значения этих выражений равны. Например, на множестве [0;+¥), на множестве (-¥;0], на множестве R\{-1}, (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 на множестве {(x,y) | x Î R, y Î R}. Определение. Тождественным преобразованием алгебраического выражения на множестве M Í D(E) называется замена этого выражения на тождественно равное ему на множестве M Замечание. Отметим, что иногда опускают множество, на котором алгебраические выражения тождественно равны, имея при этом ввиду их тождественное равенство на пересечении областей допустимых значений. Например, При выполнении тождественных преобразований оказываются полезными следующие формулы.
Эти формулы получаются как следствия из более общих формул:
Следующие свойства справедливы для любых положительных чисел a и b и любых действительных чисел a и b.
Замечание 1. Отметим, что отрицательные числа также можно возводить в некоторые степени (целые и, более общо, рациональные вида где m - целое, n - натуральное). Замечание 2. 0a = 0, для любого a > 0.
Пример 1. Определить ОДЗ алгебраических выражений: Решение. a) ОДЗ данного выражения определяется из неравенства x + x2 - 2x3 ≥ 0, которое решаем при помощи метода интервалов: Таким образом, D(E) = (-¥;-1/2]È[0;1]. b) Отметим, что выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда
c) Так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, а корень второй степени существует только из неотрицательных выражений, то для определения ОДЗ получим систему
Таким образом, ОДЗ исходного выражения равна {(a,b,c,d) | b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, d ≥ 0}. Пример 2. Определить, являются ли выражения A и B тождественно равными на множестве M. Решение. a) Так как на множестве M, то, применив формулу сокращенного умножения, получим: b) Подобно предыдущему примеру
При преобразованиях учитывается, что, если то , и Пример 3. Упростить выражения: Решение. ОДЗ выражения определяется из системы решая которую, получим b ≥ 2. Выполним равносильные на ОДЗ преобразования: b) ОДЗ данного выражения является множество {(m,n) | m ≥ 0, n ≥ 0, m ≠ n}. Обозначив получим m = a6 и n = b6 выражение принимает вид c) На ОДЗ: {(a,b,c) | a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, a2 + c2 ≠ 0} выражение преобразуется следующим образом: d) ОДЗ данного выражения является множество {(a,b,c) | a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c}. Приводя выражение к общему знаменателю, получим: Учитывая вид знаменателя, разложим на множители числитель:
Следовательно, на ОДЗ исходное выражение тождественно равно ab + bc + ca. f) ОДЗ выражения является множество {(x,y,z) | x ≠ y, y ≠ z, z ≠ x}. Первое слагаемое выражения преобразуем следующим образом: g) ОДЗ выражения равна R\{-2;0;3}. Учитывая, что выражение содержит |m| и |m - 3|, рассмотрим три случая:
Таким образом, Пример 4. Разложить на множители:
Решение. a) Прибавляя и вычитая z(y + z)(z + x), а затем группируя удобным образом, получим:
b) Применяется формула суммы кубов и решается подобно предыдущему упражнению
c) Применяя формулы сокращенного умножения, получим: d) x5 + x + 1 = 1 + x + x2 - x2 + x5 = 1 + x + x2 - x2(1 - x3) = (1 + x + x2) - x2(1 - x)(1 + x + x2) = (1 + x + x2)(1 - x2(1 - x)) = (1 + x + x2)(1 - x2 + x3). Пример 5. Избавиться от иррациональности в знаменателе: Решение. Умножая на выражение сопряженное знаменителю, получим: a) b) Подобно примеру a) получим
c) Из формулы (см., например, 4 b)): Пример 6. Доказать, что приведенные выражения представляют собой целые числа. Вычислить эти числа. Решение. a) Выделяя полный квадрат под знаком радикала, получим b) Выделяя полный куб под знаком корня третей степени, получим c) Учитывая, что
Пример 7. a) Вычислить x2 + y2 + z2, если x + y + z = 1, . b) Доказать, что равенство xyz = 1 влечет c) Доказать, что если x + y + z = 0, то x4 + y4 + z4 = 2(xy + yz + zx)2. d) Доказать, что для любых трех последовательных членов геометрической прогрессии выполняется равенство e) Доказать, что, если x1 + x2 + x3 = y1 + y2 + y3 = x1y1 + x2y2 + x3y3 = 0, и не все числа xj, и yi, равны нулю, то Решение. a) Из равенства следует xy + yz + zx = 0. Отсюда b) Заметим, что условие xyz = 1 влечет Следовательно, c) Учитывая, что x + y = -z, получим
d) Так как a1a3 = a22 (характеристическое свойство геометрической прогрессии), следовательно, e) Рассмотрим векторы (x1, x2, x3), (y1, y2, y3) и (1,1,1). Заметим, что эти векторы попарно ортогональны, так как их скалярные произведения равны нулю. Следовательно, векторы В частности, для x = e1 = (1,0,0) получим
1. Определить ОДЗ выражений: 2. Определить, являются ли выражения A и B тождественно равными на множестве M, если Ответ: Да. 3. Упростить выражения: 4. Разложить на множители:
5. Избавиться от иррациональности в знаменателе: 6. Доказать, что приведенные выражения представляют собой целые числа. Вычислить эти числа. |