| Заглавная страница |
Руководство пользователя |
Практикум абитуриента |
Учебные программы |
| Математический кружок |
Занимательная математика|
Формулы, словари |
Новости |
|Странички истории |
Экзамены, тесты |
Библиография |
Ссылки |
Карта |
Арифметические и геометрические прогрессии
Арифметическая прогрессия
Определение 1. Числовая последовательность
(an)n
Î N
называется арифметической прогрессией, если существует действительное число
d (называемое разностью прогрессии), такое, что
an+1 - an = d,
("n Î N)
| (1) |
то есть, каждый член последовательности (начиная со второго) равен предыдущему
плюс одно и то же число (разность прогрессии).
Пример 1. Проверить, являются ли данные последовательности
арифметическими прогрессиями
a) an = 2n - 1,
b) 3, 6, 9, ..., 3k, ...
c) an = 1/n.
Решение. a) Разность an+1 -
an является постоянным числом для любого
n Î N
an+1 - an =
2(n + 1) - 1 - (2n - 1) = 2
следовательно, последовательность, заданная общим членом
an = 2n - 1, является
арифметической прогреcсией c разностью 2:
1, 3, 5, ..., 2n - 1, ...
b) Аналогично решению примера a), получим
an+1 - an =
3(n + 1) - 3n = 3, ("n
Î N)
и, следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией
с разностью 3.
c) Выпишем первые три члена последовательности a1 = 1,
a2 = 1/2,
a3 = 1/3 и заметим, что
a2 - a1 = -1/2
≠ a3 - a2 =
-1/6, то есть, данная последовательность не образует
арифметическую прогрессию.
Иначе, рассматривая разность
, заметим, что она
зависит от n (не является постоянным числом) и, следовательно, данная
последовательность не является арифметической прогрессией.
Свойства арифметической прогрессии
Доказательства приведенных ниже свойств можно найти, например, в
[1].
P1. Общий член арифметической прогрессии an
определяется по формуле
где a1 - первый член прогрессии, d - ее разность.
P2. (Характеристическое свойство арифметической прогрессии). n-ый
член арифметической прогрессии является средним арифметическим равноудаленных
от него членов прогрессии:
an-k + an+k =
2·an,
|
(3) |
Замечание. Из свойства P2 следуют необходимые и
достаточные условия:
a) три числа a, b, c (в указанной очередности) образуют
арифметическую прогрессию, если
b) три числа a, b, c (независимо от очередности) образуют
арифметическую прогрессию, если
(2b - a - c)(2c - a - b)(2a -
b - c) = 0.
|
(5) |
P3. Если a1, a2, ...,
an, ... - арифметическая прогрессия и k +
n = m + p (k,n,m,p
Î N), то
P4. Сумма Sn первых n членов
арифметической прогрессии равна
|
(7) |
или, учитывая (2)
|
(8) |
Определение 2. Арифметическая прогрессия называется возрастающей
(убывающей если ее разность - положительное (отрицательное) число. Если
разность прогрессии равна нулю, имеем постоянную последовательность.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2. Определить арифметическую прогрессию, если
a3 = 2 и a5 = -2.
Решение. Используя формулу общего члена арифметической прогрессии,
получим систему
![](t0x.gif) |
a3 = a1 + 2d, |
a5 = a1 + 4d, |
или, учитывая условия примера,
![](t0x.gif) |
a1 + 2d = 2, |
a1 + 4d = -2, |
откуда находим первый член арифметической прогрессии a1 = 6 и
ее разность d = -2.
Пример 3. Определить число x, если числа a - x,
x, b (a, b даны) в указанной последовательности
образуют арифметическую прогрессию.
Решение. Используя характеристическое свойство арифметической
прогрессии, получим линейное уравнение
2x = a - x + b,
откуда
Пример 4. Определить арифметическую прогрессию, сумма первых n
членов которой определяется по формуле
Sn = 3n2 + 6n
(n ≥ 1).
Решение. Поскольку сумма первых (n - 1) членов прогрессии равна
Sn-1 = 3(n - 1)2 + 6(n - 1) =
3n2 - 3,
(n ≥ 2)
и Sn - Sn-1 =
an, следует, что
an = 3n2 + 6n -
3n2 + 3 = 6n + 3.
Последовательно подставляя в формулу n-ого члена n = 1,2,3,...,
получим a1 = 9, a2 = 15,
a3 = 21, ...
Пример 5. Определить сумму первых девятнадцати членов арифметической
прогрессии a1, a2, a3,
..., если
a4 + a8 + a12 +
a16 = 224.
Решение. Заметим, что 4 + 16 = 8 + 12 и, следовательно, (см.
(6)) a4 + a16 =
a8 + a12. Учитывая, что сумма этих членов
равна 224, найдем, что a4 + a16 = 112.
Поскольку (см. (7))
и
a1 + a19 =
a4 + a16 = 112 (1 + 19=4 + 16), то
Пример 6. При каких значениях параметра a существуют такие
значения переменной x, чтобы числа
51+x + 51-x,
a/2,
25x + 25-x
являлись последовательными членами арифметической прогрессии?
Решение. Согласно характеристическому свойству арифметической
прогрессии, получим уравнение
a = 51+x + 51-x +
25x + 25-x.
Заметим, что при a ≤ 0 уравнение не имеет решений (правая часть, как
сумма положительных чисел, есть положительное число).
Поскольку ax + y =
ax·ay,
(a > 0, a ≠ 1), уравнение примет вид
Обозначим
t ≥ 2 (сумма двух взаимно обратных положительных чисел). Тогда
и уравнение примет вид
t2 + 5t - (a + 2) = 0.
Положительный корень этого уравнения должен быть больше или равен 2 (данное
уравнение имеет два различных противоположных по знаку корня, поскольку при
a > 0 имеем -(a+2) < 0 и коэффициент при
t2 положителен), для чего достаточно, чтобы
![](t0x.gif) |
-b/2a < 2, |
f(2) ≤ 0, |
|
или |
![](t0x.gif) |
-5/2 < 2, |
4 + 10 - (a + 2) ≤ 0, |
|
откуда a ≥ 12. |
Пример 7. Определить сумму всех четных трехзначных чисел, делящияся
на 3.
Решение. Первым четным трехзначным числом, делящимся на 3, является 102.
Поскольку четное число, делящееся на 3, делится и на 6, получим прогрессию
102, 108, 114, ..., 996,
где a1 = 102, d = 6 и последний ее член
ax = 996 (x Î
N).
Поскольку ax = a1 + (x -
1)d или
102 + (x - 1)·6 = 996,
находим x = 150. Тогда, используя формулу (7),
получим
Пример 8. Пусть Sn, Sm
и Sp - соответственно суммы первых n, m
и p членов арифметической прогрессии a1,
a2, a3, ... Показать, что
|
(9) |
Решение. Использем формулу (8), тогда равенство
(9) примет вид
или
2a1[m - p + p - n + n -
m] + [(n - 1)(m - p) + (m - 1)(p -
n) + (p - 1)(n - m)]d = 0.
Поскольку
(n - 1)(m - p) + (m - 1)(p - n) +
(p - 1)(n - m) = |
= nm - np - m + p + mp - mn -
p + n + pn - pm - n + m = 0
|
получим:
2a1·0 + 0·d = 0, то есть, 0 = 0,
и, следовательно, равенство доказано.
Пример 9. Определить числа, являющиеся одновременно членами
арифметической прогрессии, 2, 5, 8, ..., 332 и 7, 12, 17, ..., 157.
Решение. Пусть b - n-ый член первой прогрессии,
следовательно, b = 2 + (n - 1)·3 и, в то же время, b
является m-ым членом во второй прогрессии, то есть,
b = 7 + (m - 1)·5. Таким образом, получим уравнение
2 + (n - 1)·3 = 7 + (m - 1)·5,
или
3(n - 1) = 5m
откуда, учитывая, что m, n - натуральные числа, получим
n = 5k + 1 и m = 3k,
k Î N, то есть, члены
a6, a11, a16, ...,
a5k+1 первой прогрессии совпадают с членами
c3, c6, c9, ...,
c3k, второй прогрессии. Таким образом, числа
17, 32, 47, 62, 77, 92, 107, 122, 137 и 152 входят в обе прогрессии.
Пример 10. Сумма трех положительных чисел равна
p/2. Найти произведение
ctga· ctgg если
известно, что ctga, ctgb,
ctgg образуют арифметическую прогрессию.
Решение. Используя характеристическое свойство арифметической
прогрессии, получим
2ctgb = ctga +
ctgg.
Поскольку a + b +
g = p/2
влечет
b = p/2
- (a + g),
используя формулу приведения
ctg(p/2 - x) = tgx
получим
2tg(a + b) =
ctga + ctgb,
используя формулу тангенса двойного угла, имеем
откуда
Учитывая, что a, b и
g - положительные числа, сумма которых равна
p/2
(tgatgg ≠ 1,
tga ≠ 0, tgg ≠ 0),
получим
2tgatgg = 1 -
tgatgg
откуда следует, что tgatgg =
1/3 и, следовательно,
ctgactgg = 3.
Пример 11. Пусть x1 и x2 - корни
уравнения x2 + px + q = 0. Определить p
и q, если известно, что q, x1, p,
x2 (в данной очередности) образуют возрастающую
арифметическую прогрессию.
Решение. Используя характеристическое свойство арифметической
прогрессии и теорему Виета, получим систему
![](t0x.gif) |
2x1 = q + p, |
2p = x1 + x2, |
x1 + x2 = -p, |
x1x2 = q, |
решения которой
![](t0x.gif) |
q = -4, |
x1 = -2, |
p = 0, |
x2 = 2, |
|
и |
![](t0x.gif) |
q = 0, |
x1 = 0, |
p = 0, |
x2 = 0 |
|
По условию, арифметическая прогрессия - возрастающая и, следовательно,
квадратное уравнение, удовлетворяющее условиям задачи, есть
x2 - 4 = 0 (p = 0, q = -4).
Пример 12. Определить первые три члена убывающей арифметической
прогрессии, если известно, что a1 + a3 +
a5 = -24 и
a1a3a5 = 640.
Решение. Используя свойство P3, находим
a3 = -8, затем получим систему
![](t0x.gif) |
a1 + a5 = -16, |
a1a5 = -80, |
решения которой a¢1 = -20,
a¢5 = 4 и
a¢¢1 = 4,
a¢¢5 = -20.
Поскольку прогрессия - убывающая (d < 0), остается
a1 = 4 и a5 = -20. Используя свойство
P3, получим
Таким образом, первыми тремя членами данной прогрессии являются 4, -2 и -8.
Геометрическая прогрессия
Определение 2. Числовая последовательность
(bn)n Î
N называется геометрической прогрессией, если существует
действительное число q, называемое знаменателем прогрессии, такое, что
bn+1 = bn·q,
("n Î N)
то есть, каждый член последовательности (начиная со второго) равен предыдущему,
умноженному на одно и то же число (знаменатель прогрессии).
Следующие последовательности являются геометрическими прогрессиями:
2, 4, 8, ..., 2n, ... |
здесь b1 = 2 и q = 2, |
3, -1, 1/3, -1/3,... |
здесь b1 = 3 и q = -1/3, |
a, a, a, ... |
здесь b1 = a и q = 1, |
a, 0, 0, ... |
здесь b1 = a и q = 0 |
Заметим, что, если один из членов геометрической прогрессии равен нулю, то тогда
либо b1 = 0, либо q = 0.
Свойства геометрической прогрессии
P5. Формула n-го члена геометрической прогрессии:
bn =
b1·qn-1,
("n Î
N).
|
(11) |
P6. (Характеристическое свойство геометрической прогрессии). Квадрат
n-го члена геометрической прогрессии равен произведению равноудаленных
от него членов:
|
(12) |
В частном случае, для трех последовательных членов геометрической прогрессии
|
(13) |
Замечание. Формулы (12), (13)
можно записать и следующим образом:
|
(14) |
|
(15) |
то есть, модуль n-го члена геометрической прогрессии есть среднее
геометрическое равноудаленных от него членов. В случае прогрессии с
положительными членами n-ый член является средним геометрическим
равноудаленных от него членов
|
(16) |
P7. Если k + n = m + p (k, n,
m, p Î N), тогда
где bk, bn,
bm, bp - члены геометрической
прогрессии b1, b2, ....
P8. Числа a, b, c (не обязательно в указанной
очередности) образуют геометрическую прогрессию, если и только если
удовлетворяют равенству
(a2 - bc)(b2 -
ac)(c2 - ab) = 0,
|
(18) |
а числа a, b, c (в указанной очередности) образуют
геометрическую прогрессию, если и только если
b2 = ac.
P9. Сумма Sn первых n членов
геометрической прогрессии определяется по формуле
|
(19) |
где b1 - первый член прогрессии, q - её знаменатель,
bn - n-ый член прогрессии.
Если q = 1, то
P10. Сумма S всех членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии (|q| < 1) определяется по формуле
|
(21) |
Доказательства свойств
P5-P10 можно найти,
например, в [1].
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 13. Произведение первых трех членов геометрической прогрессии
равно 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель этой
прогрессии.
Решение. Пусть b1, b2 и
b3- первые три члена данной прогрессии. Тогда из условия
b1b2b3 = 1728 следует
(см. (12 ))
и
b2 = 12. Следовательно,
![](t0x.gif) |
b1b3 = 144, |
b1 + b3 = 51, |
Решения данной системы (см. обратную теорему Виета) является также корнями
квадратного уравнения
z2 - 51z + 144 = 0.
Решая квадратное уравнение, получим z1 = 3 и
z2 = 48, то есть,
b1 = 3, b3 = 48 или
b1 = 48, b3 = 3.
Поскольку b1 = 3, b2 = 12 или
b1 = 48 и b2 = 12, получим q = 4 или
q = 1/4. Таким образом, решеними задачи будут
b1 = 3 и q = 4 или b1 = 48 и
q = 1/4.
Пример 14. В геометрической прогрессии с положительными членами
(m + n)-ый член равен p, а
(m - n)-ый член (m > n) равен s. Найти
члены порядка m и n.
Решение. Поскольку (см. (11))
то , и, поскольку
bm > 0, получим
Согласно условиям и формуле (10), получим
![](t0x.gif) |
b1qm+n-1 = p, |
b1qm-n-1 = s, |
откуда и, следовательно,
Поскольку
b1qm+n-1 =
b1qn-1·qm =
bn·qm = p,
следует, что
Пример 15. Вычислить сумму
Решение. Имеем
или
9/7·Sn =
(10 - 1) + (100 - 1) + (103 - 1) + ... +
(10n - 1),
откуда
9/7·Sn =
(10 + 102 + 103 + ... + 10n) - n.
Заметим, что в скобках - сумма первых n членов геометрической прогрессии
с первым членом b1 = 10 и знаменателем q = 10.
Используя формулу (19), получим
,
откуда
Пример 16. Доказать, что числа 9, 10 и 11 не могут являться членами
одной геометрической прогрессии.
Решение. Пусть данные числа являются членами геометрической прогрессии
с первым членом b1 и знаменателем q. Тогда
9 = b1qk-1,
10 = b1qn-1 и
11 = b1qm-1, откуда следует
Таким образом,
,
откуда
Поскольку m, n, k - различные натуральные числа, данное
равенство ложно, и, следовательно, 9, 10 и 11 не могут быть членами одной
геометрической прогрессии.
Пример 17. Числа a, b, c, d образуют
геометрическую прогрессию. Показать, что
(a - c)2 + (b - c)2 +
(b - d)2 = (a - d)2.
Решение. Преобразуем левую часть равенства:
A = a2 - 2ac + c2 +
b2 - 2bc + c2 + b2 -
2bd + d2.
Так как b2 = ac, c2 = bd и
bc = ad (см. (12) и (17)),
то
A = a2 - 2b2 + c2 +
b2 - 2bc + c2 + b2 -
2c2 + d2 = a2 - 2bc +
d2 = a2 - 2ad + d2 =
(a - d)2.
Пример 18. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
равна 4, а сумма их кубов равна 192. Найти пятый член последовательности.
Решение. Пусть b1 и q - соответственно первый
член и знаменатель данной геометрической прогрессии. Тогла |q| < 1 и
Заметим, что кубы членов исходной прогрессии образуют, в свою очередь,
бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом
и знаменателем
q3. Действительно, поскольку
то
Следовательно,
Из первого уравнения находим b1 = 4(1 - q) и
подставляем во второе уравнение системы:
откуда (поскольку (|q| < 1) следует уравнение
(1 - q)2 = 3(1 + q + q2)
или
2q2 + 5q + 2 = 0
решения которого q1 = -2 и q2 =
-1/2. Поскольку |q| < 1, остается
q = -1/2 и, следовательно, b1 = 6.
Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии, получим
Пример 19. Решить уравнения
Решение. Заметим, что числитель левой части уравнения представляет собой
сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом
b1 = 1 и знаменателем q1 = tgx, а
знаменатель левой части - сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
с первым членом 1 и знаменателем (-tgx). Поскольку |tgx| < 1,
уравнение переписывается следующим образом:
или
Поскольку
а уравнение примет вид
,
откуда следует совокупность
или
Поскольку |tgx| < 1, остается
x = pn,
n Î Z.
Смешанные задачи
Пример 20. Определить числа a, b и c, если
известно, что a, b, c - три последовательных члена
геометрической прогрессии; a, b + 2, c образуют
арифметическую прогрессию, а числа iar a, b + 2, c + 9 -
геометрическую прогрессию.
Решения. Используя характеристические свойства геометрической и
арифметической прогрессии, получим следующую систему:
![](t0x.gif) |
b2 = ac, |
2(b + 2) = a + c, |
(b + c)2 = a(c + 9), |
откуда a = 4, b = 8, c = 16 или
и
Пример 21. Доказать, что если положительные числа a, b и
c являются соответственно членами m, n и p-го
порядка арифметической прогрессии a1, a2,
... и геометрической прогрессии b1, b2,
..., то
ab-c·bc-a·ca-b = 1.
Решение. Согласно условиям
a = a1 + (m - 1)d, |
b = a1 + (n - 1)d, |
c = a1 + (p - 1)d, |
|
(22) |
где a1 и d - соответственно первый член и разность
арифметической прогрессии.
Из равенства (22) следует
b - c = (n - p)d,
c - a = (p - m)d и
a - b = (m - n)d.
|
(23) |
В то же время
a = b1qm-1,
b = b1qn-1,
c = b1qp-1,
|
(24) |
где b1 и q - соответственно первый член и знаменатель
геометрической прогрессии.
Используя (23) и (24), получим
Пример 22. Определить треугольник, длины сторон которого образуют
геометрическую прогрессию, а величины внутренних углов - арифметическую
прогрессию.
Решение. Пусть a, b,
g - внутренние углы треугольника, противоположные
сторонам a, b и c. Поскольку a +
b + g = 180° и
a = b - d,
g = b + d, где
d - разность арифметической прогрессии, получим
b - d + b +
b + d = 180°
откуда b = 60°.
Согласно теореме косинусов,
b2 = a2 + c2 -
2accosb.
Поскольку b2 = ac и cosb =
1/2, то
ac = a2 + c2 - ac
откуда a2 - 2ac + c2 = 0 или
(a - c)2 = 0 и a = c.
Следовательно, получим равнобедренный треугольник (a = c) с углом
при вершине в 60°, то есть, равносторонний треугольник.
Пример 23. Последовательность положительных чисел a1,
a2, ..., an, ... образует
арифметическую прогрессию, а последовательность b1,
b2, ..., bn, ... - геометрическую
прогрессию. Доказать, что для любого натурального n, n > 2
an < bn,
если a1 ≠
a2, a1 = b1 и
a2 = b2.
Решение. Пусть d - разность арифметической прогрессии, q -
знаменатель геометрической прогрессии. Поскольку a1 =
b1 и a2 = b2, получим
a1 + d = a1·q,
откуда и
d = a1(q - 1) > 0. Следовательно,
an = a1 +
(n - 1)d = a1 +
(n - 1)a1(q - 1) =
a1(1 + (n - 1)(q - 1)) |
bn =
b1qn-1 =
a1qn-1 |
и необходимо доказать неравенство
a1(1 + (n - 1)(q - 1)) <
a1qn-1
или, так как a1 > 0,
1 + (n - 1)(q - 1) < qn-1.
Последнее неравенство непосредственно следует из неравенства Бернулли (см.
"Принцип математической индукции" или "Неравенства").
Другой способ. Рассмотрим разность
(было учтено, что
есть сумма первых n - 2 членов геометрической прогрессии с
b¢1 = 1 и
q¢ = q).
Поскольку q > 1, qk > 1,
k Î N, получаем
1 + q + q2 + ... + qn-2 -
(n - 1) > 0
а произведение (1 - q)(1 + q + q2 + ... +
qn-2 - (n - 1)) < 0. Следовательно, и 1 +
(n - 1)(q - 1) - qn-1 < 0, то есть,
an < bn, n > 2.
Пример 24. Определить те прогрессии, которые одновременно является и
арифметическими и геометрическими.
Решение. Пусть a1, a2, ...,
an, ... - арифметическая и геометрическая прогрессия.
Тогда 2ak+2 = ak+1 +
ak+3, или
2a1qk+1 =
a1qk +
a1qk+2, или
a1qk -
2a1qk+1 +
a1qk+2 = 0, откуда получим:
a1qk(1 - 2q +
q2) = 0,
a1qk(1 -
q)2 = 0.
Следовательно, если a1q ≠ 0, то q = 1, и
искомая прогрессия представляет собой постоянную последовательность
a1, a1, ..., a1, ...
(d = 0, q = 1).
Если a = 0, получим 0, 0, ..., 0, ... (d = 0, q
Î R), а если q = 0, a ≠ 0
- решений нет.
Упражнения
- Пусть a1, a2, ...,
an, ... - арифметическая прогрессия с
положительными членами. Показать, что
- Показать, что
где a1, a2, ...,
an+1, ... - ненулевые члены арифметической
прогрессии.
- Определить трехзначные числа, делящиеся на 45, цифры которых образуют
арифметическую прогрессию.
- Решить уравнение
2 + 5 + 8 + 11 + ... + x = 155
- Определить сумму всех двузначных четных чисел.
- Найти a1 + a6 + a11
+ a16, если a1, a2,
..., an, ... - арифметическая прогрессия и
a1 + a4 + a7 + ... +
a16 = 1447.
- Определить те значения x, при которых число lg2,
lg(2x - 1), lg(2x + 3)
образуют арифметическую прогрессию.
- Показать, что числа
не могут быть членами одной арифметической прогрессии.
- Пусть Sn, S2n и
S3n - соответственно суммы первых n,
2n и 3n членов геометрической прогрессии. Доказать равенство
Sn(S3n -
S2n) = (S2n -
Sn)2.
- Определить четыре числа, образующих арифметическую прогрессию, сумма
которых, равна 48, а отношение произведения крайних членов к произведению
оставшихся равно
- Определить геометрическую прогрессию, состоящую из семи членов, если
известно, что сумма первых трех ее членов равна 26, а сумма последних
трех равна 2106.
- Доказать, что числа
образуют геометрическую прогрессию.
- Определить три числа, образующих геометрическую прогрессию, если их сумма
равна 62, а сумма их квадратов равна 2604.
- Числа a1, a2, a3
образуют арифметическую прогрессию, а их квадраты - геометрическую
прогрессию. Определить эти числа, если известно, что их сумма равна 21.
- Определить арифметическую прогрессию, если сумма ее первых десяти членов
равна 300, а первый, второй и пятый члены этой прогрессии образуют
геометрическую прогрессию.
Литература
- P.Cojuhari si altii. Progresii aritmetice si geometrice. Mica biblioteca a elevului.
Seria Matematica, informatica. Chisinau, Editura ASRM, 1995.
| Заглавная страница |
Руководство пользователя |
Практикум абитуриента |
Учебные программы |
| Математический кружок |
Занимательная математика|
Формулы, словари |
Новости |
|Странички истории |
Экзамены, тесты |
Библиография |
Ссылки |
Карта |
|