При решении показательныx неравенств используются следующие утверждения: A.1. Если a > 1, неравенство Аналогично, a f(x) < a g(x) Ы f(x) < g(x). A.2. Если 0 < a < 1, неравенство Аналогично, a f(x) < a g(x) Ы f(x) > g(x). A.3. Неравенство
Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай
A.4. Если b ≥ 0, неравенство A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства af(x) > b является x О D(f). A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство Аналогично, a f(x) < b Ы f(x) < logab. A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство Аналогично, a f(x) < b Ы f(x) > logab. Упражнение 1. Решить неравенства:
Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство
b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство Решив последнее неравенство методом интервалов, получим x О (-7;-1/5). c) Используя утверждение A.3, получим
d) Учитывая замечание к утверждению A.3, получим
e) Согласно утверждению A.4, множество решений неравенства пусто. f) Используя утверждение A.5 получим x О R. g) Используя утверждение A.6 получим равносильное неравенство h) Множество решений данного неравенства совпадает с его ОДЗ (см. утверждение A.5):
Все методы решения показательных уравнений (см. Показательные уравнения) можно применить (с соответсвующими изменениями) и в случае неравенств. Упражнение 2. Решить неравенства:
Решение. a) Так как 52x+1 = 5·52x = 5·(5x)2, обозначив t = 5x, получим квадратное неравенство b) Данное неравенство - однородное показательное неравенство. Разделив обе части неравенства на 25x, получим неравенство c) Используя метод общего множителя, получим d) Разделив обе части неравенства на 22x (22x > 0), получим
Множество решений первого неравенства совокупности есть , а второго неравенства x О (-Ґ;-1]И[3;+Ґ). Таким образом, решение исходного неравенства есть . e) Обозначим t = 3x и используем метод интервалов, учитывая что t+5 > 0: Таким образом, 1/3 < 3x ≤ 3 Ы 3-1 < 3x ≤ 31 Ы x О (-1;1]. f) Так как , то , следовательно, x-3 ≤ 0, откуда x ≤ 3. Учитывая ОДЗ исходного неравенства (x ≥ 0), получим ответ x О [0;3]. В дальнейшем рассмотрим несколько примеров показательнных неравенств, которые решаются специальными способами (учитывая область определения и область значений, монотонность, непрерывность и т.п.). Пример 3. Решить неравенства:
Решение. a) ОДЗ неравенства определяется из системы
b) Левая часть неравенства есть возрастающая функция (сумма двух возрастающих функций). Поскольку для x < 2, f(x) < f(2) = 25, а для x ≥ 2, f(x) ≥ f(2) = 25, множество решений данного неравенства есть [2;+Ґ). c) Выражение ab-ac при a > 1 имеет тот же знак что и выражение (b-c) и противоположный знак, если 0 < a < 1, следовательно, для x О (0;1)И(1;+Ґ). выражения ab-ac и (a-1)(b-c) одинакового знака. Запишем неравенство в виде
Решив методом интервалов, получим d) Заметим, что , и получим неравенство e) Используя неравенство
Таким образом, неравенство справедливо для любого x из ОДЗ,
то есть x О [1;+Ґ).
|