(21.08.1789 – 23.05.1857)
Давид Гильберт был одним из истинно великих математиков своего времени. Его труды и его вдохновляющая личность ученого оказали глубокое влияние на развитие математических наук вплоть до настоящего времени. Его проникновенная интуиция, его творческая мощь и неповторимая оригинальность математического мышления, широта и разносторонность интересов сделали Гильберта первооткрывателем во многих областях математики. Это была единственная в своем роде личность, глубоко погруженная в свою работу и полностью преданная науке, учитель и руководитель самого высокого класса, вдохновляющий и крайне великодушный, не знающий усталости и настойчивый во всех своих устремлениях.
Автобиография и семейная хроника начинаются с того, что счастливая комбинация генов, породившая необычайно одаренного ребенка, была произведена Отто Гильбертом и его женой Марией, в результате чего 23 января 1862 года в Велау, вблизи Кёнигсберга, у них родился первенец, которого назвали Давидом.
Детство Гильберта, как и большинства подростков Кёнигсберга, прошло в атмосфере преклонения перед Кантом, величайшим сыном этого города. Каждый год двадцать второго апреля, в годовщину рождения великого философа, его склеп рядом с собором был открыт для публики. В такие дни Давид сопровождал свою философски настроненную мать, чтобы почтить память Канта. Именно мать обратила внимание сына и на созвездия, ввела его в мир тех интересных "простых" чисел, которые, в отличие от других, делятся только на себя и на 1. Благодаря отцу раннее обучение Давида носило отпечаток прусских черт пунктуальности, бережливости, преданности долгу, усердия, дисциплины и уважения к закону.
В приготовительной школе Фридрихсколлежа Давид получил первые уроки, необходимые для Гуманитарной гимназии. В нее он должен был поступить, если бы пожелал получить специальность, духовный сан или стать университетским профессором. Эти уроки включали чтение, письмо на латинском и готическом алфавитах, правописание, анализ простых предложений, изучение частей речи, важных библейских историй и простой арифметики, включавшей сложение, вычитание, умножение и деление небольших чисел. Гимназия, которую выбрали для Давида его родители, считалась лучшей в Кёнигсберге – старинная частная школа, основанная в начале семьнадцатого столетия и имевшая в числе своих выпускников самого Канта. Тем не менее выбор этот был весьма неудачным. В то время в Кёнигсберге было редкое сосредоточение будущих научных талантов. Альтштадскую гимназию одновременно посещали Макс и Вилли Вины, Арнольд Зоммерфельд и Герман Минковский. Однако Давиду, посещавшему Фридрихсколлеж, не пришлось в свои школьные годы познакомиться ни с одним из этих мальчиков.
У Давида были очень плохие способности к заучиванию наизусть, а в Фридрихсколлеже запомнить и изучить было одно и то же. По словам одного из друзей Давида, "языковые классы вызывали у него больше грусти, чем радости". Не особенно быстро он усваивал и новый материал. Но, несмотря на все эти трудности, он никогда не отставал от своих школьных товарищей. Он был трудолюбивым и ясно представлял себе сущность прусской системы образования. Не было никаких глупых выходок с его стороны. В отличие от Эйнштейна, он доучился в гимназии до конца, пока не сдал Abitur (экзамен, после сдачи которого разрешается поступать в университет).
В Вильгельм-гимназии Давид чувствовал себя много счастливее. Наконец-то учителя оценили и начали поощрять его оригинальную личность. После исключительно успешной сдачи письменного экзамена его освободили от заключительного выпускного устного экзамена. Характеристика на обратной стороне удостоверения об окончании гимназии отмечала его прилежание и серьезный интерес к науке: "Что касается математики, то здесь он всегда проявлял живой интерес и глубокое понимание: он самым лучшим образом овладел всем материалом, проходившимся в школе, и научился применять его с уверенностью и изобретательностью." Так впервые упоминается о Гильберте-математике.
Большой удачей для Гильберта было то, что университет его родного города, хотя и отдаленный от основного центра событий в Берлине, по своим научным традициям являлся одним из самых выдающихся в Германии. Якоби преподавал в Кёнигсберге. Тогда, во времена Гаусса, он считался вторым математиком в Европе, а его приемнику, Ришело, принадлежит заслуга открытия гения Карла Вейерштрасса в работах неизвестного учителя гимназии.
Когда осенью 1880 года Гильберт поступил в университет, Вейерштрасс был самым выдающимся математиком в Германии; Якоби и великодушный Ришело уже умерли; однако Франца Неймана, которому было суждено прожить до ста лет, еще можно было увидеть на университетских собраниях, иногда он даже читал лекции. Вопреки желанию отца, Давид Гильберт записался не на юридический, а на математический курс, относившийся в то время к философскому факультету.
Во время своего первого семестра в университете Гильберт слушал лекции по интегральному исчислению, теории определителей и кривизне поверхностей. Во втором семестре, следуя популярному обычаю странствовать по университетам, он отправился в Гейдельберг, самый очаровательный и романтический из германских университетов. В Гейдельберге Гильберт посещал лекции Лазаря Фукса, математика, имя которого стало синонимом линейных дифференциальных уравнений. В следующем семестре Гильберт мог бы переехать в Берлин, где находилось созвездие таких ученых, как Вейерштрасс, Куммер, Кронекер и Гельмгольц. Однако, будучи, подобно отцу, глубоко привязанным к городу своего детства, он вернулся в Кёнигсбергский университет. В то время в Кёнигсберге был только один полный профессор математики. Это был Генрих Вебер, исключительно одаренный и многогранный человек, достойный преемник Якоби и Ришело. У Вебера Гильберт слушал лекции по теории функций и впервые познакомился с теорией инвариантов, самой модной математической теорией того времени.
Весной 1882 года Гильберт познакомился с молодым, но уже весьма знаменитым математиком – Германом Минковским. Кроме своей страстной любви к математике, они разделяли глубокий и твердый оптимизм. Вообще же, что касается науки в целом, период их университетской жизни был периодом торжествующего пессимизма, явившегося реакцией на почти религиозную веру во всемогущество науки, которая наблюдалась в прошлом столетии.
Окончив восьмисеместровый университетский курс, необходимый для получения докторской степени, Гильберт начал обдумывать возможные темы для диссертации. Проблема, которую Линдеман предложил Гильберту для диссертации, касалась вопроса о свойствах инвариантности некоторых алгебраических форм. Она была довольно трудной для докторской диссертации, однако не настолько, чтобы нельзя было ожидать ее решения. Проявив оригинальность, Гильберт решил ее способом, отличным от того, который, по общему мнению, мог привести к успеху. Это была очень хорошая работа. Линдеман был удовлетворен.
Гильберт решил, что, став доцентом, будет читать лекции на разные темы, не повторяясь, как это делали многие другие, и тем самым будет образовывать не только своих студентов, но и себя. Только лекции по теории инвариантов собрали число студентов, достаточное для того, чтобы получить право держать класс в университете. "Одиннадцать доцентов, зависящих примерно от такого же числа студентов", – недовольно сообщал он Минковскому.
Так как в Кёнигсберге было мало студентов-математиков, Гильбет, кроме математических собраний, посещал также и собрания естествоиспытателей. Кёнигсберг был удивительно богат близкими по духу молодыми людьми. Светская жизнь здесь была довольно бурной. Гильберт был веселым молодым человеком с репутацией "энергичного танцора" и "обворожителя". Он неутомимо флиртовал со многими девушками. Однако его любимой партнершей во всякого рода развлечениях была Кете Еран, дочь кёнигсбергского торговца, откровенная молодая девушка. 12 октября 1892 года Давид Гильберт и Кете Еран поженились.
К началу нового 1893 года Гильберт дал новое доказательство трансцендентности чисел e (впервые доказанное Эрмитом) и p (доказанное Линдеманом). Его доказательство представляло значительный прогресс по сравнению с прежним и было удивительно простым и прозрачным. Едва Гильберт освоился со своим новым положением женатого человека и ассистент-профессора с постоянным жалованием, как пришли приятные известия – его назначили на место профессора.
11 августа 1893 года на морском курорте Кранц у Гильбертов родился первый ребенок. Они назвали сына Францем. Спустя несколько недель после рождения сына Гильберт отправилcя в Мюнхен, на ежегодное собрание Германского математического общества, которое ставило себе целью обеспечить более тесные контакты между различными областями математики. Здесь он представил два новых доказательства разложения алгебраических чисел на простые идеалы. Несмотря на первые шаги Гильберта в области алгебраических чисел, его компетентность в этих вопросах явно произвела впечатление на остальных членов общества.
В марте 1895 года, почти ровно через сто лет после Гаусса, Гильберт приехал в Гёттинген. Здесь ему легко было выбрать темы своих лекций, согласованные с пожеланиями Феликса Клейна. В первом семестре он читал курсы по теории определителей и эллиптических функций, а также вместе с Клейном каждое утро по средам вел семинар по действительным функциям.
Гильберт читал свои лекции медленно, "без ненужных украшений" и с частыми повторениями, "чтобы быть уверенным, что все его поняли". Как правило, он повторял материал прошлой лекции, что было привычкой преподавателей гимназии, которой пренебрегали другие профессора. И все же скоро его лекции стали производить на многих студентов большое впечатление, так как были полны "красивейшими проникновениями".
Закончив Zahlbericht, Гильберт занялся давно задуманными собственными исследованиями. Главным его интересом было обобщение закона взаимности на поле алебраических чисел. В классической теории чисел квадратичный закон взаимности, известный еще Лежандру, был вновь открыт и впервые строго доказан Гауссом в возрасте 18 лет. Гаусс всю жизнь считал этот закон "жемчужиной" теории чисел и возвращался к нему несколько раз, дав ему пять различных доказательств. Гильберту удалось переформулировать квадратичный закон в простой и красивой форме, которая имела смысл и для полей алгебраических чисел. Венцом его работы в этой области была статья "О теории относительно абелевых полей". В ней он дал набросок обширной теории, получившей известность как "теория полей классов", и развил методы и понятия, необходимые для дальнейших исследований. Будущим математикам это казалось "божественным откровением" – нигде в других работах не была так явно продемонстрирована его математическая интуиция.
В 1898-1899 Гильберт начал читать курс геометрии. Спустя несколько месяцев вышла в печать небольшая книжка Гильберта об основаниях геометрии, которая стала бестселлером в математической литературе. В Grundlagen der Geomertie ("Основаниях геометрии") Гильберт дал полную систему аксиом евклидовой геометрии, классифицировал их по группам и старался определить пределы каждой из этих групп аксиом, изучая не только следствия каждой из них изолированно, но и различные "геомертии", полученные при изъятии или изменении некоторых из этих аксиом.
Летом 1899 года, сразу же после издания "Оснований геометрии", он обратился к одной старой знаменитой проблеме, известной как принцип Дирихле. Суть этой проблемы составляла одна логическая трудность, на которую стали обращать внимание только со времен Вейерштрасса. Гаусс, Дирихле, Риман и другие предполагали, что всегда существует решение так называемой краевой задачи для уравнения Лапласа. В сентябре 1899 года, спустя почти пятьдесят лет после диссертации Римана, он смог представить Германскому математическому обществу доказательство, которое, в ответ на замечание Неймана, он назвал "воскрешением принципа Дирихле".
В разгар лета, 6 августа 1900 года, в Париже открылся Второй международный конгресс математиков. На фоне многолюдного медицинского и шумного студенческого конгрессов, проходивших одновременно со Всемирной выставкой, он выглядел скромно и почти не был замечен прессой. Тем не менее его роль в истории развитии математики оказалась весьма значительной. По составу он был небольшим: собрал 226 делегатов. Но парижане могли здесь увидеть весь цвет тогдашней математической науки. Тут были француз Анри Пуанкаре, швед Миттаг-Лефлер, Ж.Адамар, Г.Дарбу, Т.Леви-Чивита, М.Кантор, М. д'Окань, Г.Минковский, Г.Цейтен. Что ни фамилия, то – великая личность, внесшая огромный вклад в математику.
В третий день работы конгресса в одной из аудиторий Сорбонны, где работала секция арифметики и алгебры, на трибуну поднялся человек среднего возраста, в позолоченном пенсне с небольшой русой бородкой. Он прочел доклад "Математические проблемы", ставший историческим. Гильберт предложил в качестве предмета исследования 23 важнейшие математические проблемы – своеобразную эстафету наступающему веку – решение которых способствовало бы дальнейшему развитию математики. Некоторые из этих 23 проблем, названных потом проблемами Гильберта, уже решены, другие еще ждут своего часа.
Давно прошли те дни, когда Давид Гильберт читал свои лекции по аналитическим функциям в присутствии одного лишь профессора Франклина. Теперь, чтобы послушать его лекции, в аудиторию набивалось иногда по нескольку сот человек, многие из которых могли найти себе место только на подоконнике. Ни состав, ни количество слушателей не производили впечатление на Гильберта. "Если бы сам император вошел в зал, – говорил известный математик Гуго Штейнгауз, который приехал в это время в Гёттинген, – Гильберт бы не прореагировал."
В 1909 году Гильберт подружился с Рихардом Курантом. Уже было ясно, что этот человек должен пойти далеко не только в математике. Он занимался с Францем Гильбертом, ставшим уже подростком, чьи школьные дела были не совсем в порядке. ("Способности к математике мой сын унаследовал от матери, все остальное – от меня", – шутил Гильберт.) В течении 1910 года Курант был ассистентом Давида Гильберта. В том же году, впервые с 1906 года, Гильберт послал в Гёттингенское научное общество сообщение по интегральным уравнениям, шестое и последнее.
"Можно без преувеличения сказать, что именно благодаря исследованиям Гильберта впервые выявилось истинное значение теории интегральных уравнений, – писал позже Курант. – Многие ее связи с совершенно различными областями математики, разносторонность приложений, внутренняя гармония и простота ее структуры, ее объединяющая сила по отношению к ряду ранее разрозненных исследований впервые проявились в работах Гильберта." Начиная с Фредгольма, математики всего мира, а особенно в Германии и США, вели исследования в области интегральных уравнений, но настоящее безусловно принадлежало Гильбету.
Осенью 1910 года Венгерская академия наук объявила о присуждении Второй премии Бояи "Давиду Гильберту, который глубиной мыслей, оригинальностью методов и строгой логикой доказательств уже оказал значительное влияние на прогресс математических наук". Именно Анри Пуанкаре, как секретарю комитета по премии, пришлось приготовить общий обзор работ Гильберта для представления академии и дальнейшего опубликования. Качествами, о которых он счел нужным специально упомянуть, были "разнообразие интересов, важность решаемых проблем, элегантность и простота методов, ясность изложения и забота об абсолютной строгости". Также он высоко ценил удобочитаемость работ Гильберта. Подробно описав достижения Гильберта, в основном остановившись на работе по основаниям геометрии, Пуанкаре попытался найти для них место среди достижений других математиков. Так, о доказательстве теоремы Гордана он писал: "Невозможно лучше оценить прогресс, достигнутый господином Гильбертом, чем сравнить количество страниц, потраченных Горданом на свое доказательство, с теми строчками, в которые уложилось доказательство господина Гильберта".
Доклад Пуанкаре о премии Бояи появился в 1911 году в "Acta Mathematica". И то время еще никто не подозревал, что в нем подводился итог всему тому, что внес Гильберт в конструктивную математику. На следующий год Давид Гильберт, которому уже исполнилось пятьдесят лет, стал в глазах своих коллег физиком.
Согласно Паулю Эвальду, "учителю физики Гильберта", научную программу Гильберта того времени можно было кратко выразить словами: "Мы преобразовали математику, теперь очередь за физикой, а затем мы перейдем к химии". Химия того времени была "чем-то вроде кулинарии, преподаваемой в женской школе" – именно так ее описывал Гильберт.
Несмотря на свою любовь и восхищение Гильбертом, Эвальд находил его "похожим на немного остановившегося в своем развитии подростка". В теплые дни Гильберт являлся на лекции в рубашке с короткими рукавами и открытым воротом – наряде, совершенно не подабающем для профессора тех времен. Он носился по улицам с букетами для своих "пассий" как уличный разносчик. Корзину с удобрениями он мог везти на руле своего велосипеда так, как будто это был подарок. На концерте или в ресторане, как бы элегантно он ни был одет, почувствовав сквозняк, Гильберт мог одолжить меховую горжетку или боа из перьв у одной из присутствующих дам. Некоторым, например Эвальду, казалось, что подобные поступки объяснялись желанием шокировать граждан, более привыкших к условностям. Другие считали, что Гильберт делал это потому, что считал разумым, не беспокоясь, противоречит ли это общепринятому поведению. В любом случае, он всегда держался с таким естественным достоинством, что не вызывал ни у кого смеха.
23 января 1922 года Давиду Гильберту исполнилось 60 лет. Последний январский номер "Naturwissenschaften", немецкого эквивалента британского научного еженедельника "Nature", был посвящен этому юбилею. Годы не очень изменили Гильберта, правда время еще больше подчеркнуло интеллект и сосредоточенность в его лице. К старости его внешность производила большее впечатление, чем в молодости.
Главным событием математической недели в Гёттингене в двадцатых годах было регулярное заседание Математического клуба. Доклады самого Гильберта в Математическом клубе все еще служили высоким образцом простоты и легкости. Его главным правилом для докладчика было: "только изюминки из кекса". Если вычисления были сложными, он мог прервать докладчика словами: "Мы здесь не для того, чтобы проверять правильность выбранного знака". Если объяснение казалось Гильберту слишком очевидным, то он мог сделать замечание докладчику: "Мы не в tertia" (tertia – уровень гимназии, рассчитанный на учащихся от 12 до 14 лет). Грубость, с которой он мог обрушиться на того, кто не соответствовал его стандартам, была хорошо известна. Поэтому ряд важных математиков Европы и Америки опасались прочесть доклад в Математическом клубе Гёттингена.
Начиная с 1922 года Давид Гильберт перестал быть физиком. Его собственные достижения в физике были разочаровывающими, "ни в коeй мере не сравнимыми, – как позже резюмировал Вейль, – с математическими достижениями в любой из периодов его научной карьеры". Аксиоматизация физики, бывшая его целью с тех пор, как он впервые начал совместные исследования с Минковским, все время ускользала от него. Действительный вклад Гильберта в физику состоял в тех математических методах, которые были созданы в его работах по интегральным уравнениям, и в той объединяющей роли, которую они сыграли.
Несмотря на свою консервативную основу, Гильберт был всегда либерален в том отношении, что никогда не считал себя привязанным к какой-нибудь определенной политической доктрине. Музыка часто вносила мир в его споры с друзьями на политические или логические темы. Иногда казалось, что из всех видов искусства Гильберта интересует только музыка. Но все же он увлекался литературой и, как говорил Курант, "хотел быть в курсе дела". Гильберт высоко ценил Гёте и Гомера, а в романах требовал больше действия. Существует один анекдот, в значительной степени проливающий свет как на его отношение к литературе, так и на его чувства к математике.
Некий математик стал романистом.
– Почему ты занялся этим? – изумлялись в Гёттигене. – Как может человек, бывший математиком, писать романы?
– Но это же совсем просто, – сказал Гильберт. – Для математики у него недоставало воображения, в то время как вполне хватило на романы."
Состояние здоровья Гильберта постоянно ухудшалось. Осенью 1925 года наконец-то было определено, что он страдает злокачественной анемией. Официальный возраст для ухода в отставку профессора был 68 лет; его Гильберт должен был достигнуть 23 января 1930 года. Одна из улиц Гёттингена была названа Гильбертштрассе. Из всей почестей, которыми был осыпан Гильберт в год своей отставки, по-видимому, наибольшую радость доставила ему та, что пришла из его родного города. Городской совет Кёнигсбера решил присвоить своему знаменитому сыну "почетное гражданство".
14 февраля 1943 года Давид Гильберт скончался от осложнений, вызванных физической неактивностью. Не более дюжины людей присутствовало на утренней панихиде в гостиной дома на Вильгельм Веберштрассе. Могло показаться, что сладостный звук "гамелинского дудочника" замолк навсегда. Однако по всему миру – в маленьких европейских странах, охваченных войной Англии, Японии, России, США – оставались ученики Гильберта и ученики учеников Гильберта.
После его смерти в "Nature" было сказано, что едва ли можно было встретить в мире математика, чья работа не была бы в той или иной степени связана с работой Гильберта. Как некий математический Александр Македонский, он оставил свое имя ярко запечатленным на карте математики. Как указывалось в том же журнале, это – гильбертово пространство, неравенство Гильберта, преобразование Гильберта, инвариантный интеграл Гильберта, теорема неприводимости Гильберта, теорема Гильберта о базисе, аксиома Гильберта, подгруппа Гильберта, поле классов Гильберта.
Библиография