Экзамен по математике для выпускников 11 класса, 8 июня 1999 1. Упростить выражение Решение. Область допустимых значений (ОДЗ) данного выражения есть множество x О R\{-1;0;1}. Приведя к общему знаменателю и учитывая ОДЗ, получим При x = 2/3 получим 2. Отрезок MB перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD. Точка M соединена с вершинами прямоугольника. Назовите все образованные прямоугольные треугольники. (3 очка) Решение. Используя теорему трех перпендикуляров, заметим что все боковые грани образуют прямоугольные треугольники. Таким образом, получаются следующие прямоугольные треугольники MBA, MBC, MAD и MCD. 3. Найти область определения функции Решение. Поскольку функция под знаком логарифма должна быть положительной, а функция под знаком квадратного корня неотрицательной, область определения находится из системы
4. Найдите сумму корней уравнения x1+lg x = 100. (5 очков) Решение. ОДЗ данного уравнения есть x > 0. Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получим Таким образом, получена совокупность уравнений
5. Пусть дана функция
Решение. Область определения функции x≥ 0. Перепишем эту функцию в виде 6. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, CD есть биссектриса и см. Найти длину стороны BC если известно, что высота DM треугольника ADC равна см. (6 puncte)
Решение. Так как CD - биссектриса прямого угла, Р ACD = Р BCD = 45°. Треугольник MDC - равнобедренный (Р MDC = Р DCM = 45°) следовательно, . Используя теорему Пифагора, находим из прямоугольника треугольника ADM что AM = 3. Следовательно, . Треугольник AMD подобен треугольнику ACB (прямоугольные треугольники и угол Р A общий), следовательно, 7. Первообразная функции Решение. Находим первообразную функции f:
Таким образом,
F(2) = 24 +
22 + 23 = 43. 8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Решение. Находим производную функции f(x):
9. Основание пирамиды - ромб с тупым углом в 120°. Высота пирамиды падает в вершину этого угла, из которого проводится перпендикуляр длины 12см на противоположную боковую грань. Найти объем пирамиды, если этот перпендикуляр образует с плоскостью основания угол в 60°. (7 очков)
Решение. Поскольку BM перпендикулярна плоскости ABCD, следует, что точка N принадлежит высоте MP треугольника MDC Следовательно, РNBP = 60°, а РMBN = 30°. Находим высоту BM и сторону BP из треугольников MBN и BNP, соответственно. Таким образом, 10. При каких значениях параметра a уравнение Решение. ОДЗ уравнения есть множество xО R\{2;3}. В ОДЗ уравнение равносильно совокупности
Если a > 0, то
Замечания. 1. Время выполнения работы 180 минут. 2. В зависимости от количества очков, оценки будут
|