Экзамен по математике для выпускников общеобразовательных школ, 2001
Время работы: 180 минут.
1. Вычислить . 2. Найти максимум функции f : R ® R, f(x) = -2x2 + 3x - 1. 3. Бисектриссы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Найдите величину угла AOB. 4. Пусть , . Определите первообразную этой функции, график которой содержит точку . 5. Решить уравнение 6. Найдите cosa, если , а . 7. Решить неравенство 8. Высота правильной треугольной пирамиды равна , а боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 30°. Определите объем пирамиды.
9. При каких значениях действительного параметра a прямая
y = ax + 7
является касательной к графику функции
Решения
1. , следовательно . 2. Максимум трехчлена ax2 + bx + c (a < 0) равен . В данном случае и, следовательно 3.
Так как сумма углов A и B параллелограмма ABCD (см. рисунок) равна 180°, . Сумма внутренних углов треугольника AOB равна 180°. Следовательно 4. Поскольку , и , то , откуда . Следовательно . 5. Область допустимых значений данного уравнения есть множество (4;+¥), которое находится решая систему неравенств Используя свойства логарифмической функции (см., например, Логарифмические уравнения) в ОДЗ получим следующие равносильности
log3(x - 1) - log3(2x - 7) =
log32 - log3(x - 4) Û
откуда
log3(x - 1)(x - 4) =
log32(2x - 7)
или
Û log3(x - 1) + log3(x - 4) = log32 + log3(2x - 7),
(x - 1)(x - 4) = 2(2x - 7).
Решив полученное квадратное уравнение
x2 - 9x + 18 = 0
найдем
x1 = 3 Ï ОДЗ
и 6. Поскольку cos2a = 1 - 2sin2a, получим или , откуда . Найдем cosa: . Так как a принадлежит четвертой четверти, cosa > 0 и . 7. 8.
Пусть SABC - правильная треугольная пирамида,
-
ее высота,
9. Прямая y = ax + 7 является касательной к графику
трехчлена x2+6x+a,
если уравнение
36 - 12a + a2 - 4a + 28 = 0 или
a2 - 16a + 64 = 0
откуда a = 8.
|