Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Министерство Образования и Науки

Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, июнь, 1999

Гуманитарный профиль IV Вариант

Время решения - 180 минут

1. Определить, какому числовому множеству принадлежит значение выражения 25^{log_{5} 6} + 7^{\frac{1}{log_{5} 7}} .

Решение. Используя основное логарифмическое тождество (a^{log_{a} b} = b, a > 0, a ≠ 1,

b > 0), формулу log_{a} b = \frac{1}{log_{b} a} (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1), получим

25^{log_{5} 6} + 7^{\frac{1}{log_{5} 7}} = 5^{2 log_{5} 6} + 7^{log_{7} 5} = (5^{log_{5} 6})^{2} + 5 = 6^{2} + 5 = 41.

Таким образом, значение выражения - натуральное число. Замечание. Обратим внимание, что N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C …

2. Привести пример совместной неопределенной системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Решение. Например, система

\{ \begin{matrix}x + y = 1, \\ 2x + 2y = 2, \end{matrix}

совместна и неопределена. Действительно, решениями этой системы являются x = 1 − a, y = a, a ∈ R.

3. Определить область определения функции f(x) = \sqrt{x^{2} − 3x + 2} + lg x. Решение. Область определения функции f(x) находится из системы неравенств:

\{ \begin{matrix}x^{2} − 3x + 2 ≥ 0, \\ x > 0, \end{matrix}

(выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а под знака логарифма - положительным). Решая систему, получим D(f) = (0; 1] ∪ [2; +∞).

4. Решить уравнение \frac{e^{x} − e^{−x}}{e^{x} + e^{−x}} = \frac{1}{2}. Решение. ОДЗ уравнения есть R. Перепишем уравнение в виде

2(e^{x} − \frac{1}{e^{x}}) = e^{x} + \frac{1}{e^{x}}

или e^{x} − \frac{3}{e^{x}} = 0, откуда следует, что e^{2x} = 3 и x = \frac{1}{2} ln 3.

5. Определить интервалы монотонности функции f : R^{∗} ⟶ R, f(x) = x+ \frac{1}{x} и сравнить значения функции в точках x_{1} = log_{5} 4 и x_{2} = log_{5} 3.

Решение. Поскольку f′(x) = (x + \frac{1}{x})′ = 1 − \frac{1}{x^{2}} = \frac{(x − 1)(x + 1)}{x^{2}}, используя метод ин-

тервалов, получим, что f′(x) > 0 для x ∈ (1; +∞) и f′(x) < 0 для x ∈ (0; 1). Следовательно, при x ∈ (0; 1) функция f(x) строго убывает и, поскольку

0 = log_{5} 1 < log_{5} 3 < log_{5} 4 < log_{5} 5 = 1,

следует, что f(log_{5} 3) > f(log_{5} 4).

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = x^{2} − 4x + 4 и g(x) = 2x + 4.

Решение. Площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = x^{2} − 4x + 4 и g(x) = 2x + 4 (см. рисунок), определяется, используя формулу

S = ∫_{a}^{b}[g(x) − f(x)]dx,

где a и b - пределы интегрирования.

[figure: −2; 2; 6; 16; 4; x; y]

Для того, чтобы определить a и b, решим уравнение f(x) = g(x), то есть, x^{2} − 4x + 4 = 2x + 4 или x^{2} − 6x = 0, откуда, учитывая, что a < b, получим a = x_{1} = 0 и b = x_{2} = 6.

Следовательно,

S = ∫_{0}^{6}(2x + 4 − x^{2} + 4x − 4)dx = ∫_{0}^{6}(6x − x^{2})dx = (3x^{2} − \frac{x^{3}}{3} )|_{0}^{6} = 3 · 36 − 36 · 2 = 36(кв.ед.).

7. Пусть f(x) = \frac{2 cos x + 1}{cos x}. Определить значение выражения f (\frac{π}{2} − x) + f (\frac{π}{2} + x).

Решение. Область определения функции f есть множество R \ \{\frac{π}{2} + πk, k ∈ Z.\} Ис-

пользуя формулы приведения cos (\frac{π}{2} ± x) = ∓ sin x, получим

f (\frac{π}{2} − x) + f (\frac{π}{2} + x) = \frac{2 cos(\frac{π}{2} − x) + 1}{cos(\frac{π}{2} − x)} + \frac{2 cos(\frac{π}{2} + x) + 1}{cos(\frac{π}{2} + x)} =

= \frac{2 sin x + 1}{sin x} + \frac{−2 sin x + 1}{− sin x} = \frac{2 sin x + 1 + 2 sin x − 1}{sin x} = \frac{4 sin x}{sin x} = 4.

(заметим, что, если x ≠ \frac{π}{2} + πk, k ∈ Z, тогда \frac{π}{2} ± x ≠ πk, k ∈ Z).

8. Какой член разложения бинома ( \frac{1}{\sqrt[3]{a^{2}}} + ^{4} \sqrt{a^{3}})^{17} не содержит a?

Решение. Поскольку \frac{1}{\sqrt[3]{a^{2}}} = a^{− \frac{2}{3}} , ^{4} \sqrt{3} = a^{\frac{3}{4}} , запишем бином в форме (a^{− \frac{2}{3}} + a^{\frac{3}{4}} )^{17}.

Используя формулу биноминального коэффициента

T_{k+1} = C_{17}^{k} (a^{− \frac{2}{3}} )^{17−k} (a^{\frac{3}{4}} )^{k} ,

получим уравнение

\frac{−2(17 − k)}{3} + \frac{3k}{4} = 0

или −8(17 − k) + 9k = 0, откуда k = 8.

Следовательно,

T_{9} = C_{17}^{8} = \frac{17!}{8!9!} = 24310.

9. В сферическое тело объема 10см^{3} вписан конус, осевое сечение которого - прямоугольный треугольник. Найти объем конуса.

Решение. Поскольку осевое сечение конуса - прямоугольный (равнобедренный!) треугольник, то его гипотенуза совпадает с диаметром. Следовательно радиус основания конуса r, радиус сферы R и высота конуса h равны: r = R = h.

Поскольку \frac{4π}{3} R^{3} = 10, следует, что R^{3} = \frac{30}{4π}, а объем конуса равен

V = \frac{1}{3}πr^{2}h = \frac{1}{3}πR^{3} = \frac{1}{3}π \frac{30}{4π} = \frac{5}{2}(куб.ед.)