Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, июнь, 1999 Гуманитарный профиль III Вариант
Время решения - 180 минут
1. Определить, какому числовому множеству принадлежит числовое выражение Решение. Приведя к общему знаменателю, получим Ответ. Множеству натуральных чисел. Замечание. Нужно принять во внимание, что N М Z М Q М R М C... 2. Написать полиномиальное уравнение третьего порядка, если известно, что одним из корней этого уравнения является x = 1. Решение. Пусть корнями искомого уравнения являются x1 = 1, x2 = 2 и x3 = 3. Тогда, согласно теореме Безу, 3. Найти сумму действительных корней уравнения Решение. ОДЗ уравнения есть множество R. Обозначив , получим квадратное уравнение 2t2 + t - 3 = 0, решения которого t1 = 1 и t2 = -3/2. Таким образом, 4. Решить неравенство Решение. ОДЗ неравенства есть множество x > 0. Используем обобщенный метод интервалов.
Получим: x О (0,1]И[3;+Ґ). 5. Показать, что парабола y = x2 - x + 5,35 не пересекает график функции f(x) = 2sinx + 3. Решение. Поскольку область значений функции y = x2 - x + 5,35 есть множество [5,1;+Ґ). В то же время, |sinx| ≤ 1 влечет 1 ≤ 2sinx + 3 ≤ 5 и, следовательно, графики данных функций не пересекаются. 6. Определить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = 2 + x - x2 и g(x) = 2 - x. Решение.
Площадь S фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = 2 + x - x2 и g(x) = 2 - x (см. рисунок) определяется по формуле В данном случае Следовательно, 7. При каких действительных значениях значениях параметра a система
Решение. Согласно правилу Крамера, данная система будет иметь единственное решение, тогда и только тогда, когда ее главный определитель будет отличен от нуля.
8. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке x0 = -3. Решение. Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0 есть Так как 9. В основании треугольной пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 12см и 16см. Найти объем пирамиды, если известно, что боковые ребра равны и имеют длину см. Решение.
Поскольку все боковые ребра равны, высота пирамиды падает в центр описанной окружности основания, то есть, основание высоты находится в середине гипотенузы AC. Так как |