Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Министерство Образования и Науки

Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, июнь, 1999

Гуманитарный профиль III Вариант

Время решения - 180 минут

1. Определить, какому числовому множеству принадлежит числовое выражение

\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{1}{4 − 2\sqrt{3}}.

Решение. Приведя к общему знаменателю, получим

\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{1}{4 − 2\sqrt{3}} = \frac{4 − 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}}{4^{2} − (2\sqrt{3})^{2}} = \frac{8}{16 − 12} = 2.

Ответ. Множеству натуральных чисел. Замечание. Нужно принять во внимание, что N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C …

2. Написать полиномиальное уравнение третьего порядка, если известно, что одним из корней этого уравнения является x = 1.

Решение. Пусть корнями искомого уравнения являются x_{1} = 1, x_{2} = 2 и x_{3} = 3. Тогда, согласно теореме Безу,

P_{3}(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) или P_{3}(x) = x^{3} − 6x^{2} + 11x − 6.

В общем случае, если коэффициэнты многочлена a_{0}x^{3} + a_{1}x^{2} + a_{2}x + a_{3} удовлетворяют условию a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = 0, то x = 1 есть корень уравнения a_{0}x^{3} + a_{1}x^{2} + a_{2}x + a_{3} = 0.

3. Найти сумму действительных корней уравнения ^{3} \sqrt{x} + 2 ^{3} \sqrt{x^{2}} = 3. Решение. ОДЗ уравнения есть множество R. Обозначив ^{3} \sqrt{x} = t, получим квадратное

уравнение 2t^{2} + t − 3 = 0, решения которого t_{1} = 1 и t_{2} = −\frac{3}{2}.

Таким образом,

[ \begin{matrix}^{3} \sqrt{x} = 1, \\ ^{3} \sqrt{x} = −\frac{3}{2}, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x_{1} = 1, \\ x_{2} = −\frac{27}{8}, \end{matrix}

следовательно, сумма действительных корней исходного уравнения равна x_{1} + x_{2} = −\frac{19}{8}.

4. Решить неравенство (x − 3) · log_{\frac{1}{3}} x ≤ 0. Решение. ОДЗ неравенства есть множество (0; +∞). Используем обобщенный метод

интервалов.

[figure: 0; 1; 3; 0; 1; 0; 3; −; −; +; +; +; +; +; −; −; +; +; −; −; −; −; −; −; −; −; −; −; −; −; −; −; −; −; +; +; (x − 3); log_{\frac{1}{3}} x; (x − 3) log_{\frac{1}{3}} x]

Получим: x ∈ (0, 1] ∪ [3; +∞).

5. Показать, что парабола y = x^{2} − x + 5, 35 не пересекает график функции f(x) = 2 sin x + 3.

Решение. Поскольку x^{2} − x + 5, 35 = x^{2} − 2 · \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} − \frac{1}{4} + 5, 35 = (x − \frac{1}{2})^{2} + 5, 1, область

значений функции y = x^{2} − x + 5, 35 есть множество [5, 1; +∞). В то же время, | sin x| ≤ 1 влечет 1 ≤ 2 sin x + 3 ≤ 5 и, следовательно, графики данных функций не пересекаются.

6. Определить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = 2 + x − x^{2} и g(x) = 2 − x.

Решение.

[figure: 0; -1; 2; x; y]

Площадь S фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = 2+x−x^{2} и g(x) = 2−x (см. рисунок) определяется по формуле

S = ∫_{a}^{b}[f(x) − g(x)]dx,

где a и b - пределы интегрирования, которые определяются при решении уравнения f(x) = g(x).

В данном случае

2 + x − x^{2} = 2 − x или x^{2} − 2x = 0

откуда, учитывая, что a < b, получим a = 0, b = 2.

Следовательно,

S = ∫_{0}^{2}(2 + x − x^{2} − 2 + x)dx = ∫_{0}^{2}(2x − x^{2})dx = (x^{2} − \frac{x^{3}}{3} )|_{0}^{2} = 4 − \frac{8}{3} = \frac{4}{3}(кв.ед.)

7. При каких действительных значениях значениях параметра a система

\{ \begin{matrix}ax + y + z = 1, \\ 3x + ay + z = 1, \\ 3x + y + az = 1, \end{matrix}

имеет единственное решение?

Решение. Согласно правилу Крамера, данная система будет иметь единственное решение, тогда и только тогда, когда ее главный определитель будет отличен от нуля.

\begin{matrix}a & 1 & 1 \\ 3 & a & 1 \\ 3 & 1 & a \end{matrix} ≠ 0.

Раскрывая определитель, получим

a^{3} − 7a + 6 ≠ 0,

откуда, учитывая, что

\begin{aligned}a^{3} − 7a + 6 & = & a^{3} − a − 6a + 6 = a(a^{2} − 1) − (6a − 6) = a(a − 1)(a + 1) − 6(a − 1) = \\ & = & (a − 1)(a^{2} + a − 6) = (a − 1)(a + 2)(a − 3) \end{aligned}

получим a ≠ 1, a ≠ −2 и a ≠ 3 или a ∈ R \ {−2, 1, 3}.

8. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 2x^{2} + \frac{1}{3}x^{3} в точке x_{0} = −3.

Решение. Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x_{0} есть

y − f(x_{0}) = f′(x_{0})(x − x_{0}),

где f′(x_{0}) - значение производной функции f(x) в точке x_{0}.

Так как

f(x_{0}) = f(−3) = 2 · (−3)^{2} + \frac{1}{3}(−3)^{3} = 9,

f′(x) = (2x^{2} + \frac{1}{3}x^{3})′ = 4x + x^{2},

f′(−3) = 4 · (−3) + (−3)^{2} = −3

получим

y − 9 = −3(x + 3)

или, после элементарных преобразований, y = −3x.

9. В основании треугольной пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 12см и 16см. Найти объем пирамиды, если известно, что боковые ребра равны и имеют длину 2\sqrt{41}см.

Решение.

[figure: A; B; C; O; S]

Поскольку все боковые ребра равны, высота пирамиды падает в центр описанной окружности основания, то есть, основание высоты находится в середине гипотенузы AC.

Так как AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{12^{2} + 16^{2}} = \sqrt{400} = 20(см),

OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} · 20 = 10(см),

SO = \sqrt{SC^{2} − OC^{2}} = \sqrt{164 − 100} = \sqrt{64} = 8(см),

S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB · BC = \frac{1}{2} · 12 · 16 = 96(см^{2})

получим

V = \frac{1}{3}S_{△ABC} · SO = \frac{1}{3} · 96 · 8 = 256(см^{3}).