![]() Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, июнь, 1999 Гуманитарный профиль II Вариант
Время решения - 180 минут
1. Пусть f:R*®R,
Решение. Используя основное логарифмическое тождество
![]() 2. Написать уравнение второго порядка с действительными корнями, произведение которых равнялось бы четырем. Решение. Используя обратную теорему Виета, например, для x1 = 1 и x2 = 4 (тогда x1·x2 = 4, x1 + x2 = 5), получим квадратное уравнение
3. Пусть Решение. Так как ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
4. Пусть дана функция f(x) = 1-cosx. Вычислить значение выражения
Решение. Используя формулы приведения
![]() 5. При каких действительных значениях параметра m многочлен 2x3 - x2 + mx - 2 делится на x - 2. Решение. Поскольку 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = -x2 - 4x и g(x) = 4 + x. Решение.
Искомая площадь определяется, используя формулу ![]() Для определения a и b решим уравнение f(x) = g(x), то есть, Таким образом, ![]()
7. Пусть функция f:D®R,
(D Ì R),
Решение. Используя правило нахождения производной сложной функции, находим f ¢(x): ![]() ![]() После проверки остается x = 3.
8. Решить неравенство
Решение. Используя утверждение 3 из Логарифмические неравенства, получим совокупность систем ![]() Действительно, первая система совокупности (учитывая, что x > 1) равносильна системе
![]() Таким образом, множеством решений исходного неравенства является (1;3). 9. Основание пирамиды - квадрат со стороной a. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а остальные две образуют с ней угол b. Найти площадь боковой поверхности пирамиды. Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SDC (SD ^ DC) и, используя метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, получим ![]()
![]() ![]() Так как SA ^ AB (SC ^ BC) - следует из теоремы о трех перпендикулярах), имеем ![]()
Аналогично, Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна ![]() ![]() |