Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Министерство Образования и Науки Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, июнь, 1999 Гуманитарный профиль II Вариант

Время решения - 180 минут

1. Пусть f : R^{∗} ⟶ R, f(x) = \frac{2^{x}}{2^{2x} − 1}. Вычислить f(log_{2} 3).

Решение. Используя основное логарифмическое тождество (a^{log_{a} b} = b, a > 0, a ≠ 1, b > 0), получим

f(log_{2} 3) = \frac{2^{log_{2} 3}}{2^{2 log_{2} 3} − 1} = \frac{3}{(2^{log_{2} 3})^{2} − 1} = \frac{3}{3^{2} − 1} = \frac{3}{8}.

2. Написать уравнение второго порядка с действительными корнями, произведение которых равнялось бы четырем.

Решение. Используя обратную теорему Виета, например, для x_{1} = 1 и x_{2} = 4 (тогда x_{1} · x_{2} = 4, x_{1} + x_{2} = 5), получим квадратное уравнение

x^{2} − 5x + 4 = 0.

3. Пусть z = \frac{1 − i}{2 + i}. Определить, при каких значениях a и b справедливо равенство

\sqrt{5} · z + a + bi = 5 − 3i.

Решение. Так как

z = \frac{1 − i}{2 + i} = \frac{(1 − i)(2 − i)}{(2 + i)(2 − i)} = \frac{1 − 3i}{2^{2} + 1^{2}} = \frac{1}{5} − \frac{3}{5}i,

то равенство принимает вид

\sqrt{5} (\frac{1}{5} − \frac{3}{5}i) + a + bi = 5 − 3i

или

(\frac{1}{\sqrt{5}} + a) + (b − \frac{3}{\sqrt{5}}) i = 5 − 3i,

откуда, используя определение равенства двух комплексных чисел (z_{1} = z_{2} ⇔ Rez_{1} = Rez_{2} и Imz_{1} = Imz_{2}), получим систему

\{ \begin{matrix}a + \frac{1}{\sqrt{5}} = 5, \\ b − \frac{3}{\sqrt{5}} = −3, \end{matrix}

решение которой a = 5 − \frac{1}{\sqrt{5}}, b = \frac{3}{\sqrt{5}} − 3.

4. Пусть дана функция f(x) = 1 − cos x. Вычислить значение выражения

f (\frac{π}{2} + x) + f (\frac{π}{2} − x).

Решение. Используя формулы приведения cos (\frac{π}{2} ± x) = ∓ sin x, получим

f (\frac{π}{2} + x) + f (\frac{π}{2} − x) = 1 + cos (\frac{π}{2} + x) + 1 + cos (\frac{π}{2} − x) = 1 − sin x + 1 + sin x = 2.

5. При каких действительных значениях параметра m многочлен 2x^{3} − x^{2} + mx − 2 делится на x − 2.

Решение. Поскольку

f(2) = 2 · 2^{3} − 2^{2} + m · 2 − 2 = 10 + 2m,

решая линейное уравнение 10 + 2m = 0, получим m = −5.

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = −x^{2} − 4x и g(x) = 4 + x.

Решение.

[figure: 0; 4; -4; x; y]

Искомая площадь определяется, используя формулу

S = ∫_{a}^{b}[f(x) − g(x)]dx,

где a и b - пределы интегрирования.

Для определения a и b решим уравнение f(x) = g(x), то есть,

−x^{2} − 4x = 4 + x

или

x^{2} + 5x + 4 = 0,

откуда, учитывая, что a < b, получим x_{1} = a = −4, x_{2} = b = −1.

Таким образом,

\begin{aligned}S & = & ∫_{−4}^{−1}(−x^{2} − 4x − x − 4)dx = ∫_{−4}^{−1}(−x^{2} − 5x − 4)dx = − (\frac{x^{3}}{3} + \frac{5x^{2}}{2} + 4x)|_{−4}^{−1} = \\ & = & − (−\frac{1}{3} + \frac{5}{2} − 4 + \frac{64}{3} − 40 + 16) = 4, 5(кв.ед.). \end{aligned}

7. Пусть функция f : D ⟶ R, (D ⊂ R), f(x) = \sqrt{x^{2} − 3x + 1}. Решить уравнение 3f(x) = 2f′(x).

Решение. Используя правило нахождения производной сложной функции, находим f′(x):

f′(x) = (\sqrt{x^{2} − 3x + 1})′ = \frac{1}{2\sqrt{x^{2} − 3x + 1}} · (x^{2} − 3x + 1)′ = \frac{2x − 3}{2\sqrt{x^{2} − 3x + 1}},

и уравнение примет вид

3\sqrt{x^{2} − 3x + 1} = \frac{2x − 3}{\sqrt{x^{2} − 3x + 1}},

или

3(x^{2} − 3x + 1) = 2x − 3,

откуда следует квадратное уравнение

3x^{2} − 11x + 6 = 0,

решения которого x_{1} = \frac{2}{3} и x_{2} = 3.

После проверки остается x = 3.

8. Решить неравенство log_{x} \frac{x + 3}{x − 1} > 1.

Решение. Используя утверждение 3 из Логарифмические неравенства, получим совокупность систем

log_{x} \frac{x + 3}{x − 1} > 1 ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x > 1, \\ \frac{x + 3}{x − 1} > x, \\ x > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < x < 1, \\ \frac{x + 3}{x − 1} < x, \\ \frac{x + 3}{x − 1} > 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x ∈ (1; 3), \\ x ∈ ∅, \end{matrix} ⇔ x ∈ (1; 3).

Действительно, первая система совокупности (учитывая, что x > 1) равносильна системе

\{ \begin{matrix}x > 1, \\ x + 3 < x(x − 1) \end{matrix} или \{ \begin{matrix}x > 1, \\ x^{2} − 2x − 3 < 0, \end{matrix} откуда x ∈ (1; 3).

Вторая система не имеет решений, так как при x ∈ (0; 1) (первое неравенство) имеем

\frac{x + 3}{x − 1} < 0, что противоречит последнему неравенству системы.

Таким образом, множеством решений исходного неравенства является (1;3).

9. Основание пирамиды - квадрат со стороной a. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а остальные две образуют с ней угол β. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

[figure: β; β; A; B; C; D; S]

Рассмотрим прямоугольный треугольник SDC (SD ⊥ DC) и, используя метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, получим

SD = \frac{CD}{cos^{}D̸CS} = \frac{a}{cos β} ,

SD = CD tg^{}D̸CS = a tg β,

и, поскольку △SDC = △SDA (SD - общая сторона, AD = DC), то

S_{△SDA} = S_{△SDC} = \frac{1}{2}SD · DC = \frac{1}{2}a tg β · a = \frac{a^{2} tg β}{2} .

Так как SA ⊥ AB (SC ⊥ BC - следует из теоремы о трех перпендикулярах), имеем

S_{△SCB} = \frac{1}{2}SC · BC = \frac{1}{2} · \frac{a}{cos β} · a = \frac{a^{2}}{2 cos β} .

Аналогично, S_{△SAB} = \frac{a^{2}}{2 cos β}.

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна

S = S_{△SDC} + S_{△SDA} + S_{△SAB} + S_{△SBC} = a^{2} tg β + \frac{a^{2}}{cos β} = a^{2} \frac{sin β + 1}{cos β}.