| Заглавная страница |
Руководство пользователя |
Практикум абитуриента |
Учебные программы |
| Математический кружок |
Занимательная математика|
Формулы, словари |
Новости |
|Странички истории |
Экзамены, тесты |
Библиография |
Ссылки |
Карта |
Министерство Образования и Науки
Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, июнь, 1999
Гуманитарный профиль
I Вариант
Время решения - 180 минут
1. Пусть функция f:R*®R,
Вычислить f(log32).
Решение. Используя основное логарифмическое тождество
a > 0, a ≠ 1,
b > 0, получим
2. Привести пример уравнения второго порядка, которое имеет два различных
отрицательных корня.
Решение. Используя обратну теорему Виета, например, для
x1 = -1 и x2 = -2,
получим квадратное уравнение x2+3x+2 = 0.
В общем случае квадратное уравнение ax2+bx+c = 0
имеет два различных отрицательных корня, если и только если
3. При каких действительных значениях x и y справедливо равенство
Решение. Перепишем равенство
x + y + (y - 3)i =
(1 + i)(5 + 3i)
или, после элементарных преобразований,
x + y + (y - 3)i = 2 + 8i,
откуда, используя определение равенства двух комплексных чисел
z1 и z2
(Rez1 = Rez2 и
Imz1 = Imz2), получим систему
|
x + y = 2, |
y - 3 = 8. |
Решив систему, найдем x1 = -9 и y = 11.
4. Решить уравнение
.
Решение.
Ы |
|
|
|
x - 4 = 0, |
3 + 2x - x2 = 0, |
|
3 + 2x - x2 ≥ 0, |
|
Ы |
|
|
x1 = 4, |
x2 = -1, x3 = 3, |
|
-1 ≤ x ≤ 3, |
|
Ы |
|
x1 = -1, |
x2 = 3. |
|
5. Пусть дана функция f(x) = asin4x + bcos2x.
Определить действительные значения параметров a и b, если известно, что
и
.
Решение. Найдем производную функции f(x):
f ў(x) =
(asin4x + bcos2x)ў =
4acos4x - 2bsin2x.
Так как и
, то
или
|
2a + b = 4, |
-4a + 2b = 2, |
откуда a = 3/4 и
b = 5/2.
6.Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
f(x) = 9 - x2 и
g(x) = x2 - 6x + 9.
Решение.
Площадь фигуры, ограниченной графиками функций
f(x) = 9 - x2 и
g(x) = x2 - 6x + 9
(см. рисунок), определяется по формуле
где a и b - пределы интегрирования, которые находятся при
решении уравнения
f(x) = g(x),
то есть, 9 - x2 = x2 - 6x + 9 или
2x2 - 6x = 0, откуда (учитывая что
a < b) получим
a = x1 = 0 и b = x2 = 3.
Следовательно,
(кв.ед.)
7. При делении многочлена
P(x) = 2x3 - mx2 + nx-16
на x - 3 и на x + 1, в обоих
случаях получаем остаток -2. Какой остаток получим при делении многочлена
P(x) на x-1.
Решение. Поскольку
P(3) = 2·33 - m·32
+ 1·3 - 16 = -2, |
P(-1) = 2(-1)3 - m·(-1)2
+ n·(-1) - 16 = -2, |
то
|
-9m + 3n = -40, |
-m - n = 16. |
Решив систему, найдем m = -2/3 и
n = -46/3.
Таким образом,
и остаток от деления P(x) на (x - 1) равен
8. Площадь основания прямого кругового конуса равна
9pсм2, а площадь
полной поверхности 24pсм2.
Найти объем конуса.
Решение.
Так как площадь основания Sb =
pR2 (R - радиус основания конуса),
а площадь боковой поверхности Slat =
pRl (l - образующая конуса), то,
согласно условиям,
|
pR2 =
9p, |
pRl = 24p -
9p, |
откуда R = 3 и l = 5. Из прямоугольного треугольника SOA
(см. рисунок), находим высоту конуса SO:
(см).
Следовательно, объем конуса
(см3).
9. Решить неравенство log2x(x2 - 5x + 6)
≤ 1.
Решение.
log2x(x2 - 5x + 6)
≤ 1 Ы
log2x(x2 - 5x + 6)
≤ log2x2x
Ы
Ы |
|
|
2x > 1, |
x2 - 5x + 6 ≤ 2x,
|
x2 - 5x + 6 > 0,
|
|
0 < 2x < 1, |
x2 - 5x + 6 ≥ 2x,
|
2x > 0, |
|
Ы |
|
|
| x > 1/2, |
| x2 - 7x + 6 ≤ 0,
|
|
x < 2, |
x > 3, |
|
|
0 < x < 1/2, |
|
x2 - 7x + 6 ≥ 0, |
| x > 0, |
|
Ы |
|
|
|
1/2 < x < 2, |
x > 3, |
|
1 ≤ x ≤ 6, |
|
| 0 < x < 1/2 |
|
x ≤ 1, |
x ≥ 6, |
|
Ы |
Ы |
|
x О
(1/2;1]И(3;6], |
x О (0;1/2),
|
|
Ы
x О (0;1/2)И(1/2;1]И(3;6].
|
|