Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2008 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1

Министерство просвещения и молодежи Республики Молдова Агенство оценивания знаний и организации экзаменов

Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 17 июня 2008 Профиль: гуманитарный, искусство, спорт

Время работы: 180 минут.

В заданиях 1-4 запишите ответы на поставленные вопросы в отведенных местах.

1. Заполните пустую рамку, чтобы получилось истинное высказывание

"Если P (X) = X^{3} − 2X^{2} + 4, то P (\sqrt{2}) = ."

2. Обведите букву И, если высказывание истинно, или букву Л, если оно ложно.

10^{1+2 lg \sqrt{3}} = 20.  И  Л

3. Впишите в пустую рамку такое действительное число, чтобы функция f : ℝ_{+}^{∗} → ℝ, f(x) = log x строго убывала на интервале (0; +∞).

4. В прямоугольный треугольник ABC, m(∠BAC) = 90^{o}, вписан прямоугольник AF DE, длины сторон которого AF = 3 см, AE = 5 см. Если AF = F B, AE = EC, то площадь треугольника ABC равна см^{2}.

[figure: A; E; C; F; B; D]

5. В двенадцатых классах теоретического лицея "Штефан чел Маре" обучается 50 учащихся, из которых 35 – девушки. Средний рост девушек двенадцатиклассниц составляет 168 см, а средний рост юношей – 176 см. Определите средний рост двенадцатиклассников теоретического лицея "Штефан чел Маре".

6. В разложении бинома (\frac{1}{x^{2}} + 5\sqrt{x})^{n} семнадцатый член не содержит x. Найдите n.

7. Заданы матрицы A = ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & −1 \end{matrix} ) . Вычислите A × B.

8. При каких действительных значениях a и b выполняется условие 3a+(5−2i)b = 1+2i?

9. Используя данные рисунка, вычислите, сколько м^{3} сена вместится в данный сарай (сарай не имеет потолка), если стропила крыши имеют одинаковую длину и образуют прямой угол, длина сарая a = 12 м, ширина b = 8 м и высота стен c = 3 м.

[figure: b; a; c; ]ˇ

10. Дана функция f : ℝ → ℝ, f(x) = x^{3} − \frac{1}{2}x^{2} − 10x + 2008. Найдите значение функции в точке ее локального минимума.

11. Высота прямого кругового конуса равна 15 см, а сумма длин образующей и радиуса основания равна 25 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

[figure: .^{.......}^{........}^{.........}^{...........}^{.............}^{...............}^{.........................}^{............................}^{..............................}^{..............................} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .; . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{........................} . .^{..........} ..^{.........................} .^{.............} ..^{........} .^{....}^{...........} ..^{.........}^{....}]

12. Найдите действительные значения a, a > 0, для которых выполняется условие

∫_{0}^{2}(x + e^{a})dx = 4e^{2a}.

Решения

1. P (\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^{3} − 2 · (\sqrt{2})^{2} + 4 = 2\sqrt{2} − 4 + 4 = 2\sqrt{2}. Ответ: 2\sqrt{2}.

2. 10^{1+2 lg \sqrt{3}} = 10^{1} · 10^{2 lg \sqrt{3}} = 10 · 10^{lg 3} = 10 · 3 = 30. Поскольку 30 ≠ 20, следует, что ответ: Л (ложно).

3. В рамку может быть вписано любое действительное число a, расположенное между 0 и 1 (согласно свойствам логарифмической функции f(x) = log_{a}x, она является строго убывающей при a ∈ (0, 1)).

Ответ: например, a = \frac{1}{2}.

4. Имеем: AB = 2 · AF = 6, AC = 2 · AE = 10 и S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB · AE = \frac{1}{2} · 10 · 6 =

= 30 (см^{2}).

Ответ: 30 см^{2}.

5. Число юношей в лицее равно: 50 − 35 = 15. Определяем средний рост:

\frac{35 · 168 + 15 · 176}{50} = 170, 4 (см).

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2008 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 3

Ответ: 170, 4 cм.

6. Используем формулу общего члена разложения бинома степени k:

T_{k+1} = C_{n}^{k}a^{n−k}b^{k}.

Имеем T_{17} = T_{16+1} = C_{n}^{16}x^{−2(n−16)} (5x^{\frac{1}{2}} )^{16} = C_{n}^{16} · 5^{16} · x^{−2n+32+8} = C_{n}^{16}5^{16}x^{−2n+40}. Поскольку T_{17} не содержит x, следует, что −2n + 40 = 0, откуда n = 20.

Ответ: n = 20.

7. Используя правило умножения двух матриц, получаем:

A × B = ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & −1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix} ) .

8.

3a + 5b − 2bi = 1 + 2i.

Из определения равенства двух комплексных чисел следует

\{ \begin{matrix}3a + 5b = 1, \\ −2b = 2, \end{matrix}

откуда a = 2 и b = −1.

Ответ: a = 2, b = −1. 9.

[figure: b; a; c; ; ˇ d; A; B; C; D; A′; B′; C′; D′; E; E′]

Определяем длину стропил d:

d = b sin 45^{o} = 8 · \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} (м).

Находим объем параллелепипеда ABCDA′B′C′D′:

V_{1} = 12 · 8 · 3 = 288 (м^{3}).

Вычисляем объем призмы A′B′EC′D′E′:

V_{2} = \frac{1}{2}A′E · EB′ · EE′ = \frac{1}{2}4\sqrt{2} · 4\sqrt{2} · 12 = 4 · 4 · 2 · 6 = 192 (м^{3}).

Определяем объем сарая: V = V_{1} + V_{2} = 288 + 192 = 480 (м^{3}).

Ответ: 480 м^{3}.

10. Вычисляем производную функции: f′(x) = 3x^{2} − x − 10.

Находим критические точки: f′(x) = 0 ⇒ 3x^{2} − x − 10 = 0 ⇒ x_{1} = −\frac{5}{3}, x_{2} = 2. Определяем знак производной:

[figure: − \frac{5}{3}; 2; +; −; +; ↗; ↘; ↗]

Следовательно, x = 2 является точкой локального минимума.

f_{min} = f(2) = 2^{3} − \frac{1}{2} · 2^{2} − 10 · 2 + 2008 = 1994.

Ответ: 1994.

11.

[figure: A; O; B; V]

Площадь полной поверхности конуса:

A = πR^{2} + πRG = πR(R + G).

Обозначим OB = R, V O = H = 15, V B = G = 25 − R. Согласно теореме Пифагора:

V B^{2} = V O^{2} + OB^{2}

или (25 − R)^{2} = 15^{2} + R^{2}, 625 − 50R + R^{2} = 225 + R^{2}, 50R = 400 и R = 8 (см). Таким образом,

A = π · 8 · 25 = 200π (см^{2}).

12. Так как ∫_{0}^{2}(x + e^{a})dx = (\frac{x^{2}}{2} + e^{a}x)|_{0}^{2} = 2 + 2e^{a} − 0 = 2 + 2e^{a}, получается уравнение

2 + 2e^{a} = 4e^{2a} или 2e^{2a} − e^{a} − 1 = 0.

Обозначим e^{a} = t. Поскольку a > 0 ⇒ t > 1. Имеем

2t^{2} − t − 2 = 0 ⇔ [ \begin{matrix}t_{1} = 1 \\ t_{2} = −\frac{1}{2} \end{matrix} .

Оба решения не удовлетворяют условию t > 1, следовательно, исходное уравнение не имеет решений. Таким образом, не существует такого действительного a > 0, удовлетворяющего данному условию.

Ответ: a ∈ ∅.

Оценочная схема

Максимальное число баллов N 1 — 2 балла N 2 — 2 балла N 3 — 2 балла N 4 — 2 балла N 5 — 4 балла N 6 — 5 баллов N 7 — 6 баллов N 8 — 5 баллов N 9 — 6 баллов N 10 — 6 баллов N 11 — 7 баллов N 12 — 8 баллов всего: 55 баллов

Оценка ”10” — 54-55 баллов ”9” — 52-53 балла ”8” — 49-51 балл ”7” — 39-48 баллов ”6” — 27-38 баллов ”5” — 19-26 баллов ”4” — 14-18 баллов ”3” — 10-13 баллов ”2” — 5-9 баллов ”1” — 0-4 балла