Экзамен по математике на бакалавра, 2003, гуманитарный профиль

Министерство просвещения Республики Молдова
Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 16 июня 2003
Гуманитарный профиль

Время: 180 минут.

1. Определите знак выражения .

2. При каких значениях a точка M(a; 1) принадлежит эллипсу ?

3. Используя график функции f(x) постройте в той же системе координат график функции |f(x)|.

4. Найдите все элементы множества [−; e) Ç Z.

5. Решите систему уравнений

6. ABCD - ромб, AB = 6 см и ÐABC =120^o, [MA]^(ABC), MA = 3 см. Найдите расстояние от точки M до прямой BD.

7. Решите систему матричных уравнений .

8. Найдите значения параметра mÎR, при которых функция f: R \ { −1} ® R, . имеет экстремум в точке x = −2.

9. В Ď ABC AB=6 см, BC=7 см, AC=5 см. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Найдите площадь Ď ADC.

10. Решите уравнение .

Решения

1. Так как и следует, что и > 0.
Ответ: > 0.

2. Точка M(a; 1) принадлежит эллипсу с уравнением , тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Следовательно, откуда и
Ответ:

3. Для того, чтобы построить график функции y=|f(x)|, достаточно все части графика y=f(x), для которых y ≥ 0 оставить без изменения, а части графика, для которых y < 0 отобразить симметрично относительно оси OX.

4. Поскольку − <−1 и e<3, следует, что [−, e) Ç Z = {−1;0;1;2}.
Ответ: {−1;0;1;2}.

5.
Ответ: (−1;3).

6.

Пусть O − точка пересечения диагоналей ромба. Так как MA^AO, AO^BD (диагонали ромба перпендикулярны), следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, MO^BD тогда расстояние от точки M до прямой BD равно длине отрезка MO.
Поскольку Ð BAD = 180^o − Ð ABC = 60^o, AB=AD=6 см, следует, что треугольник ABD - равносторонний, и BD=6 см. Тогда , BO=3 см (высота AO в ĎABD является и медианой). Из Ď ABO, прямоугольного в точке O, по теореме Пифагора найдем AO:

AO =

а из Ď MAO, прямоугольного в точке A, по теореме Пифагора найдем MO:

MO =

= 6 (см).

Ответ: 6 см.

7.
Ответ:

8. Найдем производную функции f:

Для того, чтобы ca x = −2 была точкой экстремума, необходимо: f '(−2)=0, откуда m=1. При m=1, , f ''(−2) = −2<0, то есть x= −2 является точкой максимума.
Ответ: x = −2 является точкой экстремума для функции f при m=1.

9.

Пусть CE^AB, CE=h - высота в Ď ABC (как и в Ď ACD).

Используя свойство биссектрисы

вычислим AD:

Обозначим AD=x, тогда DB=6−x и получим уравнение:

откуда x=

. Таким образом, AD=

(см).
По формуле Герона

где p - полупериметр, a, b, c - стороны треугольника, найдем площадь Ď ABC:

(см²).

Так как

следует, что

(см). Тогда,

(см²).
Ответ:

(см²).

10. Область допустимых значений (сокращенно ОДЗ) найдем из соотношений:
В ОДЗ получаем откуда x=3⁻²ÎОДЗ и x=3¹ÏОДЗ.
Ответ: x=.

Оценочная схема Максимальное число баллов
    N 1 – 3 балла
    N 2 – 4 балла
    N 3 – 2 балла
    N 4 – 2 балла
    N 5 – 4 балла
    N 6 – 5 баллов
    N 7 – 4 балла
    N 8 – 5 баллов
    N 9 – 5 баллов
    N 10 – 6 баллов
    всего: 40 баллов

Оценка
    "10" – 39-40 баллов
    "9" – 36-38 баллов
    "8" – 31-35 баллов
    "7" – 24-30 баллов
    "6" – 18-23 балла
    "5" – 13-17 баллов
    "4" – 9-12 баллов
    "3" – 5-8 баллов
    "2" – 2-4 балла
    "1" – 0-1 балл