Министерство образования Республики Молдова
Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 2002 Гуманитарный профиль
Время: 180 минут.
1. Вычислите log35 × log54 – log312. 2. Определите координаты точки, симметричной точке A(–1,2) относительно начала координат. 3. Вычислите . 4. При каких значениях n имеет смысл выражение "(5 – n)!" ? 5. Найдите значение выражения 32x + 3 –2x, если 3x – 3 –x = 4. 6. Для каких x, y Î R имеет место равенство 7. В Ď ABC
Ð B = 90o и BK – медиана.
Найдите площадь Ď BCK, если AB = 4см, а 8. Найдите ту первообразную функции f : R ® R, f (x) = 4x3 + 2x – 3x2 – 1, график которой проходит через точку A(1,–1). 9. Чугунную деталь в форме усеченного конуса с радиусами оснований 4см и 22см расплавили, а из полученного металла отлили цилиндр с той же высотой, что и у усеченного конуса. Найдите радиус основания цилиндра. 10. Решите уравнение
1. Используя свойства логарифма, получим:
2. Пусть точка B, симметичная точке A(–1,2) относительно начала координат, имеет координаты (x0, y0). Поскольку O (0,0) является серединой отрезка AB, получим 3.
4. Выражение (5 – n)!
имеет смысл тогда и только тогда, когда
5 – n Î N,
то есть
откуда
5. Поскольку 3x – 3 –x = 4,
то
32x – 2 × 3x × 3 –x + 3 –2x = 16,
следовательно,
6.
Используя определение равенства двух матриц, получим систему уравнений:
откуда
7. Так как медиана BK делит треугольник ABC на два треугольника с равными площадями, следует, что 8. Пусть F(x) – первообразная функции f (x). Тогда
Поскольку F(1) = –1, следует, что 1 + 1 – 1 – 1 + C = –1 или C = –1. Таким образом, 9. Найдем объем усеченного конуса: Объем цилиндра такой же высоты и радиуса R равен
V2 = pR2h.
Так как V1 = V2, следует, что
196ph = pR2h,
откуда R2 = 196 и R = 14(см).
10. ОДЗ: x > 0.
Используя свойства логарифмической функции, получим:
N 1 – 4 балла N 2 – 2 балла N 3 – 3 балла N 4 – 4 балла N 5 – 4 балла N 6 – 5 баллов N 7 – 5 баллов N 8 – 5 баллов N 9 – 6 баллов N 10 – 8 баллов всего: 46 баллов Оценка "10" – 45-46 баллов "9" – 41-44 балла "8" – 34-40 баллов "7" – 27-33 балла "6" – 21-26 баллов "5" – 15-20 баллов "4" – 10-14 баллов "3" – 6-9 баллов "2" – 2-5 баллов "1" – 1 балл |