Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2002 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Министерство образования Республики Молдова Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 2002 Гуманитарный профиль

Время: 180 минут.

1. Вычислите log_{3} 5 · log_{5} 4 − log_{3} 12.

2. Определите координаты точки, симметричной точке A(−1, 2) относительно начала координат.

3. Вычислите lim_{x→∞} \frac{x^{2} − 4x + 5}{6 − 3x − 2x^{2}} .

4. При каких значениях n имеет смысл выражение ”(5 − n)!” ?

5. Найдите значение выражения 3^{2x} + 3^{−2x}, если 3^{x} − 3^{−x} = 4.

6. Для каких x, y ∈ ℝ имеет место равенство

( \begin{matrix}x + 1 & x + y \\ 0 & x − 2y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 & −x − 1 \\ 0 & 9 − 2x \end{matrix} )?

7. В △ABC ∠B = 90^{o} и BK — медиана. Найдите площадь △BCK, если AB = 4см, а ∠A = 30^{o}.

8. Найдите ту первообразную функции f : ℝ ⟶ ℝ, f(x) = 4x^{3} + 2x − 3x^{2} − 1, график которой проходит через точку A(1, −1).

9. Чугунную деталь в форме усеченного конуса с радиусами оснований 4см и 22см расплавили, а из полученного металла отлили цилиндр с той же высотой, что и у усеченного конуса. Найдите радиус основания цилиндра.

10. Решите уравнение log_{0,5}^{2}(4x) + log_{2} \frac{x^{2}}{8} = 8.

Решения

1. Используя свойства логарифма, получим:

log_{3} 5 log_{5} 4 − log_{3} 12 = log_{3} 5 · \frac{log_{3} 4}{log_{3} 5} − log_{3}(3 · 4) = log_{3} 4 − (log_{3} 3 + log_{3} 4) = −1.

2. Пусть точка B, симметичная точке A(−1, 2) относительно начала координат, имеет координаты (x_{0}, y_{0}). Поскольку O(0, 0) является серединой отрезка AB, получим

\{ \begin{matrix}\frac{x_{0} + (−1)}{2} = 0, \\ \frac{y_{0} + 2}{2} = 0, \end{matrix}

откуда x_{0} = 1; y_{0} = −2.

3. lim_{x→∞} \frac{x^{2} − 4x + 5}{6 − 3x − 2x^{2}} = lim_{x→∞} \frac{x^{2} (1 − \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}} )}{x^{2} (\frac{6}{x^{2}} − \frac{3}{x} − 2)} = lim_{x→∞} \frac{1 − \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{6}{x^{2}} − \frac{3}{x} − 2} =

= \frac{lim_{x→∞} 1 − 4 lim_{x→∞} \frac{1}{x} + 5 lim_{x→∞} \frac{1}{x^{2}}}{6 lim_{x→∞} \frac{1}{x^{2}} − 3 lim_{x→∞} \frac{1}{x} − lim_{x→∞} 2} = \frac{1 − 4 · 0 + 5 · 0}{6 · 0 − 3 · 0 − 2} = −\frac{1}{2}.

4. Выражение (5 − n)! имеет смысл тогда и только тогда, когда 5 − n ∈ ℕ, то есть

\{ \begin{matrix}5 − n ≥ 0, \\ n ∈ ℤ, \end{matrix} откуда n ≤ 5, n ∈ ℤ.

5. Поскольку 3^{x} − 3^{−x} = 4, то 3^{2x} − 2 · 3^{x} · 3^{−x} + 3^{−2x} = 16, следовательно, 3^{2x} + 3^{−2x} = 16 + 2 · 3^{x+(−x)} или 3^{2x} + 3^{−2x} = 16 + 2 · 3^{0} = 16 + 2 = 18.

Таким образом, 3^{2x} + 3^{−2x} = 18.

6. Используя определение равенства двух матриц, получим систему уравнений:

\{ \begin{matrix}x + 1 = 2, \\ x + y = −x − 1, \\ 0 = 0, \\ x − 2y = 9 − 2x, \end{matrix} откуда \{ \begin{matrix}x = 1, \\ y = −3. \end{matrix}

7.

[figure: C; B; A; K]

Пусть △ABC — прямоугольный (угол ∠B — прямой), AK = KC, ∠BAC = 30^{o},

AB = 4см. Тогда BC = AB tg 30^{o}, BC = 4 · \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}. Вычислим площадь △ABC:

S_{△ABC} = \frac{1}{2} · AB · BC = \frac{1}{2} · 4 · \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}.

Так как медиана BK делит треугольник ABC на два треугольника с равными площадями, следует, что

S_{△BKC} = \frac{1}{2}S_{△ABC} = \frac{1}{2} · \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}.

8. Пусть F (x) — первообразная функции f(x). Тогда

F (x) = ∫ f(x)dx = ∫ (4x^{3} + 2x − 3x^{2} − 1)dx = x^{4} + x^{2} − x^{3} − x + C.

Поскольку F (1) = −1, следует, что 1 + 1 − 1 − 1 + C = −1 или C = −1. Таким образом, F (x) = x^{4} + x^{2} − x^{3} − x − 1.

9. Найдем объем усеченного конуса:

V_{1} = \frac{π}{3} (4^{2} + 22^{2} + 4 · 22) · h = \frac{πh}{3} · 588 = 196πh,

где h — высота конуса.

Объем цилиндра такой же высоты и радиуса R равен

V_{2} = πR^{2}h.

Так как V_{1} = V_{2}, следует, что 196πh = πR^{2}h, откуда R^{2} = 196 и R = 14(см).

10. ОДЗ: x > 0. Используя свойства логарифмической функции, получим:

log_{0,5}^{2}(4x) + log_{2} \frac{x^{2}}{8} = 8 ⇔ [log_{0,5}(4x)]^{2} + log_{2} x^{2} − log_{2} 8 = 8 ⇔

⇔ [− log_{2}(4x)]^{2} + 2 log_{2} x − 3 − 8 = 0 ⇔ (log_{2} 4 + log_{2} x)^{2} + 2 log_{2} x − 11 = 0 ⇔

⇔ 4+4 log_{2} x+log_{2}^{2} x+2 log_{2} x−11 = 0 ⇔ log_{2}^{2} x+6 log_{2} x−7 = 0 ⇔ [ \begin{matrix}log_{2} x = −7, \\ log_{2} x = 1, \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x = 2^{−7}, \\ x = 1. \end{matrix}

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Оценочная схема

Максимальное число баллов N 1 — 4 балла N 2 — 2 балла N 3 — 3 балла N 4 — 4 балла N 5 — 4 балла N 6 — 5 баллов N 7 — 5 баллов N 8 — 5 баллов N 9 — 6 баллов N 10 — 8 баллов всего: 46 баллов

Оценка ”10” — 45-46 баллов ”9” — 41-44 балла ”8” — 34-40 баллов ”7” — 27-33 балла ”6” — 21-26 баллов ”5” — 15-20 баллов ”4” — 10-14 баллов ”3” — 6-9 баллов ”2” — 2-5 баллов ”1” — 1 балл