![]() Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 2000 Гуманитарный профиль
Время: 180 минут.
1. Вычислить ![]() 2. Определить множество значений функции f(x) = - x2 + 5x - 3. (7 очков) 3. Найдите уравнение второго порядка с действительными коэффициэнтами, если известно что одним из его корней является 1 + i. (7 очков) 4. В треугольнике ABC точка M О (BD), (BD) - медиана. Доказать что площадь треугольника ABM равна площади треугольника CMD. (10 очков) 5. Решить систему уравнений
6. Написать уравнение касательной к графику функции
f : R\{1} ® R,
7. Решить неравенство
8. Из середины высоты правильной четырехугольной пирамиды опущен
перпендикуляр, равный a, на боковое ребро пирамиды. Найти объем
пирамиды, если известно, что угол образованный перпендикуляром и высотой
пирамиды, равен a. 9. При каких значениях действительного параметра a, уравнение
1. Используя свойства показательной функции, получим ![]() 2. Выделяем полный квадрат ![]() Поскольку 3. Поскольку комплексное число z = 1 + i есть корень уравнения
4.
Пусть BK - высота в DABC, BK^AC. Тогда (AD = DC)
Поскольку
5. Используем правило Крамера решения систем линейных уравнений.
Согласно правилу Крамера ![]() Замечание. Система может быть решена и методом Гаусса. 6. Найдем точку пересечения графика функции с осью ординат ![]() Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0 находится по формуле
Так как ![]() ![]() 7. 8. Пусть SABCD - правильная четырехугольная пирамида
(ABCD - квадрат), h = SO - высота пирамиды, основание
которой находится в точке O - цeнтр квадрата ABCD.
Из прямоугольного треугольника SKN следует, что
Из прямоугольного треугольника SOB (РOSB = 90° - a) находим ![]() Поскольку SDAOB =
![]() 9. Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения есть множество R\{3}. В ОДЗ уравнение эквивалентно следующему Если a = 5, уравнение примет вид 0·x = -26 и, следовательно, решений не имеет, а если a О R\{5}, получим ![]() Учитывая ОДЗ ![]() ![]() Для a О
R\ ![]() Используя метод интервалов, получим ![]() Учитывая что a ≠ - ![]() ![]() |