Министерство просвещения Республики Молдова
Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 2 июня 2003 Реальный профиль
Время работы: 180 минут.
1. Запишите в алгебраической форме комплексное число z,
геометрической интерпретацией которого служит точка B.
2. На рисунке представлен график функции
f: [−6; 4] ® R.
При каких значениях a
уравнение f(x) = a
имеет три различных действительных корня? 3. Запишите уравнение окружности с диаметром AB, где A(3;2), B(−1; 6). 4. Монету подбрасывают три раза. Какова вероятность того, что два раза выпадет "орел"? 5. Девятый член разложения бинома не содержит x. Вычислите An2. 6. Вычислите . 7. Решите неравенство (sin2)x2-x ≥ sin2 2. 8. Площадь осевого сечения цилиндра равна Q. Найдите площадь его боковой поверхности. 9. Найдите корни многочлена P(X) = X 3 + 2aX 2 −5X − a − 9, aÎR, если известно, что остаток от деления P(X) на двучлен (X − 2) равен остатку от деления P(X) на двучлен X+1. 10. Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции f:[; ¥) ® R, f(x)= в точке M(3;2). 11. Решите уравнение log2 (x2 − x + b) = log2 (−3x + b) для всех значений действительного параметра b. 12. В треугольнике ABC медиана AM (MÎ(BC))
перпендикулярна медиане BN (NÎ(AC)).
Найдите площадь треугольника, если AM = a, BN = b.
1. Поскольку геометрическим представлением комплексного числа
z = a + bi является точка B(a;b), и
B имеет координаты (−2;−3), следует, что
z = −2 −3i.
2. Уравнение f(x) = a, aÎR
имеет три различных действительных корня при aÎ(−2;2),
так как только при этих значениях параметра a прямая y = a
пересекает график функции f(x) в трех различных точках.
3. Так как AB является диаметром, координаты середины этого отрезка являются координатами центра окружности. Используя формулы для вычисления координат (x0; y0) середины отрезка, соединяющего точки A(x1; y1) и B(x2; y2) Применив формулу для нахождения расстояния между двумя данными точками A(x1; y1) и B(x2; y2),
(x − x0)2 + (y − y0)2 = R2.
Подставляя x0 = 1, y0 = 4 и R = ,
получим (x − 1)2 + (y − 4)2 = 8.
Ответ: (x − 1)2 + (y − 4)2 = 8. 4. Используем биномиальную схему (Бернулли):
pn(k) = Cnk pk qn − k,
где n число независимых испытаний;k число исходов, благоприятствующих событию A (0 ≤ k ≤ n); p вероятность реализации события A в каждом отдельном испытании (одинакова для всех испытаний); q=1 − p; pn(k) вероятность реализации события A ровно k раз в n независимых испытаниях. Вероятность выпадения "орла" p в каждом из трех (n=3) подбрасываний (независимых испытаний) одинакова и равна 1/2. Следовательно, 5. Применяя формулу для (k+1)-ого члена разложения бинома Поскольку девятый член не содержит x, то , откуда n=20. Следовательно, 6. Заметим, что и, используя формулу Ньютона-Лейбница, получим: 7. Так как 0 < sin2 < 1,
функция (sin2)x является убывающей. Следовательно, 8. Пусть h высота и d диаметр основания цилиндра.
Так как осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами
h и d, имеем Q=dh. Поскольку площадь боковой поверхности цилиндра
Slat. = pdh и
dh=Q, получим Slat. = pQ.
9. Применив теорему Безу, получаем равенство P(2) = P(−1), то есть
8 + 8a − 10 − a − 9 = −1 + 2a + 5 − a − 9,
откуда a=1.
Следовательно,
P(X) = X 3 + 2X 2 − 5X − 10.
Корни многочлена P(X) найдем, решая уравнение P(X) = 0.
X 3 + 2X 2 − 5X − 10 = 0 Û (X 3−5X) + (2X 2−10) = 0 Û X(X 2−5) + 2(X 2−5) = 0 Û Û (X 2−5)(X+2) = 0 Û (X−5)(X+5)(X+2) = 0, откуда X1 = , X2 = −, X3 = −2. Ответ: корнями многочлена P(X) являются −, −2, . 10. Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (x0; f(x0)) имеет вид
y = f '(x0)(x−x0) + f(x0).
В данном случае
тогда уравнение касательной к графику функции f
в точке M(3;2)
или
Найдем координаты вершин треугольника, образованного биссектрисами координатных углов
(y=x и y=−x)
и касательной к графику функции f,
решая системы линейных уравнений:
11. log2(x2−x+b) = log2(−3x+b)
Û
Û
12.
SĎABN =
BN·AO =
b·
a =
.
Поскольку SĎ ABC = 2SĎABN (свойство медианы), следует, что
SĎABC = 2 ·
=
(кв. ед.)
Ответ: S = (кв. ед.)
N 1 – 3 балла N 2 – 3 балла N 3 – 3 балла N 4 – 4 балла N 5 – 5 баллов N 6 – 5 баллов N 7 – 5 баллов N 8 – 4 балла N 9 – 7 баллов N 10 – 8 баллов N 11 – 8 баллов N 12 – 6 баллов всего: 61 балл Оценка "10" – 60-61 балл "9" – 55-59 баллов "8" – 48-54 балла "7" – 39-47 баллов "6" – 30-38 баллов "5" – 21-29 баллов "4" – 13-20 баллов "3" – 6-12 баллов "2" – 2-5 баллов "1" – 0-1 балл |