Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2003 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Министерство просвещения Республики Молдова

Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 2 июня 2003 Реальный профиль

Время работы: 180 минут.

1. Запишите в алгебраической форме комплексное число z, геометрической интерпретацией которого служит точка B.

[figure: y; x; O; 1; 1; B]

2. На рисунке представлен график функции f : [−6; 4] ⟶ ℝ. При каких значениях a ∈ ℝ уравнение f(x) = a имеет три различных действительных корня?

[figure: y; x; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .^{............}^{............}^{.............}^{...............}^{.................}^{....................}^{.......................}^{..........................}; .^{..........................}^{........................}^{.....................}^{..................}^{...............}^{.............}^{............}^{............} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; f(x); −6; 0; 1; 4; −2; 1; 2]

3. Запишите уравнение окружности с диаметром AB, где A(3; 2), B(−1; 6).

4. Монету подбрасывают три раза. Какова вероятность того, что два раза выпадет "орел"?

5. Девятый член разложения бинома (\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{n} не содержит x. Вычислите A_{n}^{2}.

6. Вычислите ∫_{0}^{1} \frac{xdx}{\sqrt{1 + x^{2}}} .

7. Решите неравенство (sin 2)^{x^{2}−x} ≥ sin^{2} 2.

8. Площадь осевого сечения цилиндра равна Q. Найдите площадь его боковой поверхности.

9. Найдите корни многочлена P (X) = X^{3}+2aX^{2}−5X−a−9, a ∈ ℝ, если известно, что остаток от деления P (X) на двучлен (X − 2) равен остатку от деления P (X) на двучлен X + 1.

10. Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции f : [\sqrt{5}; ∞) ⟶ ℝ, f(x) = \sqrt{x^{2} − 5} в точке M(3; 2).

11. Решите уравнение log_{2}(x^{2}−x+b) = log_{2}(−3x+b) для всех значений действительного параметра b.

12. В треугольнике ABC медиана AM(M ∈ (BC)) перпендикулярна медиане BN(N ∈ (AC)). Найдите площадь треугольника, если AM = a, BN = b.

Решения

1. Поскольку геометрическим представлением комплексного числа z = a + bi является точка B(a; b), и B имеет координаты (−2; −3), следует, что z = −2 − 3i.

Ответ: z = −2 − 3i.

2. Уравнение f(x) = a, a ∈ ℝ имеет три различных действительных корня при a ∈ (−2; 2), так как только при этих значениях параметра a прямая y = a пересекает график функции f(x) в трех различных точках.

Ответ: a ∈ (−2; 2).

3. Так как AB является диаметром, координаты середины этого отрезка являются координатами центра окружности. Используя формулы для вычисления координат (x_{0}; y_{0}) середины отрезка, соединяющего точки A(x_{1}; y_{1}) и B(x_{2}; y_{2})

x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} ; y_{0} = \frac{y_{1} + y_{2}}{2} ,

получим x_{0} = 1 и y_{0} = 4.

Применив формулу для нахождения расстояния между двумя данными точками A(x_{1}; y_{1}) и B(x_{2}; y_{2})

d(AB) = \sqrt{(x_{2} − x_{1})^{2} + (y_{2} − y_{1})^{2}},

вычислим длину диаметра AB:

d = \sqrt{(−3 − 1)^{2} + (6 − 2)^{2}} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}.

Поскольку радиус окружности R равен половине диаметра, следует, что R = 2\sqrt{2}. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке O(x_{0}; y_{0}) имеет вид

(x − x_{0})^{2} + (y − y_{0})^{2} = R^{2}.

Подставляя x_{0} = 1, y_{0} = 4 и R = 2\sqrt{2}, получим (x − 1)^{2} + (y − 4)^{2} = 8.

Ответ: (x − 1)^{2} + (y − 4)^{2} = 8.

4. Используем биномиальную схему (Бернулли):

p_{n}(k) = C_{n}^{k}p^{k}q^{n−k},

где n – число независимых испытаний; k – число исходов, благоприятствующих событию A (0 ≤ k ≤ n); p – вероятность реализации события A в каждом отдельном испытании (одинакова

для всех испытаний); q = 1 − p; p_{n}(k) – вероятность реализации события A ровно k раз в n независимых испытаниях.

Вероятность выпадения "орла" p в каждом из трех (n = 3) подбрасываний (независи-

мых испытаний) одинакова и равна \frac{1}{2}. Следовательно,

p_{3}(2) = C_{3}^{2}p^{2}q^{3−2} = \frac{3!}{2!1!} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8}.

Ответ: p_{3}(2) = \frac{3}{8}.

5. Применяя формулу для (k + 1)-ого члена разложения бинома T_{k+1} = C_{n}^{k}a^{n−k}b^{k}, получим:

T_{9} = T_{8+1} = C_{n}^{8} (\sqrt[3]{x})^{n−8} (\frac{1}{\sqrt{x}})^{8} = C_{n}^{8} x^{\frac{n−8}{3}} x^{−4} = C_{n}^{8} x^{\frac{n−20}{3}} .

Поскольку девятый член не содержит x, то \frac{n − 20}{3} = 0, откуда n = 20. Следовательно,

A_{n}^{2} = A_{20}^{2} = \frac{20!}{(20 − 2)!} = \frac{20!}{18!} = 19 · 20 = 380.

Ответ: A_{20}^{2} = 380.

6. Заметим, что \frac{xdx}{\sqrt{1 + x^{2}}} = d(\sqrt{1 + x^{2}}) и, используя формулу Ньютона-Лейбница, получим:

∫_{0}^{1} \frac{xdx}{\sqrt{1 + x^{2}}} = ∫_{0}^{1} d(\sqrt{1 + x^{2}}) = \sqrt{1 + x^{2}} |_{0}^{1}= \sqrt{2} − 1.

Ответ: ∫_{0}^{1} \frac{xdx}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \sqrt{2} − 1.

7. Так как 0 < sin 2 < 1, функция (sin 2)^{x} является убывающей. Следовательно,

(sin 2)^{x^{2}−x} ≥ sin^{2} 2 ⇔ x^{2} − x ≤ 2 ⇔ x^{2} − x − 2 ≤ 0 ⇔ (x + 1)(x − 2) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 2 .

Ответ: x ∈ [−1; 2].

8. Пусть h – высота и d – диаметр основания цилиндра. Так как осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами h и d, имеем Q = πdh. Поскольку площадь боковой поверхности цилиндра S_{lat.} = dh и dh = Q, получим S_{lat.} = πQ.

Ответ: S_{lat.} = πQ.

9. Применив теорему Безу, получаем равенство P (2) = P (−1), то есть

8 + 8a − 10 − a − 9 = −1 + 2a + 5 − a − 9,

откуда a = 1. Следовательно, P (X) = X^{3}+2X^{2}−5X −10. Корни многочлена P (X) найдем, решая уравнение P (X) = 0. X^{3} +2X^{2} −5X −10 = 0 ⇔ (X^{3} −5X)+(2X^{2} −10) = 0 ⇔ X(X^{2} −5)+2(X^{2} −5) = 0 ⇔ ⇔ (X^{2} − 5)(X + 2) = 0 ⇔ (X − \sqrt{5})(X + \sqrt{5})(X + 2) = 0, откуда X_{1} = \sqrt{5}, X_{2} = −\sqrt{5}, X_{3} = −2.

Ответ: корнями многочлена P (X) являются −\sqrt{5}, −2, \sqrt{5}.

10. Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (x_{0}; f(x_{0})) имеет вид

y = f′(x_{0})(x − x_{0}) + f(x_{0}).

В данном случае f′(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} − 5}}, f′(3) = \frac{3}{2}, тогда уравнение касательной к графику

функции f в точке M(3; 2)

y = \frac{3}{2}(x − 3) + 2 или y = \frac{3}{2}x − \frac{5}{2}.

Найдем координаты вершин треугольника, образованного биссектрисами координатных углов (y = x и y = −x) и касательной к графику функции f, решая системы линейных уравнений:

\{ \begin{matrix}y = \frac{3}{2}x − \frac{5}{2}, \\ y = x, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x = 5, \\ y = 5, \end{matrix}

\{ \begin{matrix}y = \frac{3}{2}x − \frac{5}{2}, \\ y = −x, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x = 1, \\ y = −1, \end{matrix}

\{ \begin{matrix}y = x, \\ y = −x, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x = 0, \\ y = 0. \end{matrix}

Применив формулу для нахождения площади треугольника, вершинами которого являются A(x_{1}; y_{1}), B(x_{2}; y_{2}), C(x_{3}; y_{3}):

S = \frac{1}{2} | | \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{matrix} | |

получим

S = \frac{1}{2} | | \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 5 & −1 & 0 \end{matrix} | | = \frac{1}{2} | −5 − 5 |= \frac{1}{2} | −10 |= \frac{1}{2} · 10 = 5.

Ответ: S = 5 (кв.ед.).

11. log_{2}(x^{2} − x + b) = log_{2}(−3x + b) ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} − x + b = −3x + b, \\ −3x + b > 0, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} + 2x = 0, \\ x < \frac{b}{3}, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = 0, \\ x = −2, \end{matrix} \\ x < \frac{b}{3}, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x = 0, \\ x < \frac{b}{3}, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x = −2, \\ x < \frac{b}{3}, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x = 0, \\ b > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x = −2, \\ b > −6, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x ∈ ∅, \\ b ∈ (−∞; −6], \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x = −2, \\ b ∈ (−6; 0], \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = 0, \\ x = −2, \end{matrix} \\ b ∈ (0; +∞). \end{matrix} \end{matrix}

Ответ: S = \{ \begin{matrix}∅, & если b ∈ (−∞; −6]; \\ \{−2\}, & если b ∈ (−6; 0]; \\ \{−2; 0\}, & если b ∈ (0; +∞). \end{matrix}

12.

[figure: A; M; B; N; O; C]

Пусть \{AM\} ⋂\{BN\} = \{O\}. Так как BN⊥AM и AO = \frac{2}{3}a (медианы треугольника

делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины), S_{△ABN} = \frac{1}{2}BN · AO =

\frac{1}{2}b · \frac{2}{3}a = \frac{ab}{3}. Поскольку S_{△ABC} = 2S_{△ABN} (свойство медианы), следует, что

S_{△ABC} = 2 · \frac{ab}{3} = \frac{2ab}{3}(кв. ед.)

Ответ: S = \frac{2ab}{3} (кв. ед.).

Оценочная схема

Максимальное число баллов N 1 — 3 балла N 2 — 3 балла N 3 — 3 балла N 4 — 4 балла N 5 — 5 баллов N 6 — 5 баллов N 7 — 5 баллов N 8 — 4 баллов N 9 — 7 баллов N 10 — 8 баллов N 11 — 8 баллов N 12 — 6 баллов

всего: 61 балл

Оценка ”10” — 60-61 балл ”9” — 55-59 баллов ”8” — 48-54 балла ”7” — 39-47 баллов ”6” — 30-38 баллов ”5” — 21-29 баллов ”4” — 13-20 баллов ”3” — 6-12 баллов ”2” — 2-5 баллов ”1” — 0-1 балл