Министерство образования Республики Молдова
Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 2002 Реальный профиль
Время работы: 180 минут.
1. Определите истинность высказывания "(") x Î R, x2 + 9 – 6x > 0 ". 2. Вычислите 3. Постройте в одной системе координат графики функций f, g : [–3,3] ® R, для которых выполняются условия f(x) < g(x) и f '(x) > g'(x). 4. Найдите расстояние от центра окружности x2 + y2 + 6x + 10y – 135 = 0 до начала координат. 5. При каких действительных значениях x и y числа z1 = x2 + 4y – yi и будут сопряженными? 6. Решите уравнение 7. Найдите интервалы монотонности функции f : R ® R, 8. Отношение площади основания конуса к площади его осевого сечения равно p. Найдите угол наклона образующей к плоскости основания конуса. 9. Найдите корни многочлена P(X) = X 3 – 15X 2 + 74X – 120, если известно, что один из его корней является средним арифметическим двух других корней. 10. Вокруг трапеции описана окружность. Боковая сторона трапеции образует с большим основанием угол a, а диагональ трапеции образует с этим основанием угол b. Найдите отношение площади круга, ограниченного данной окружностью, к площади трапеции. 11. Задана функция f : [0,2] ® R, f(x) = 2x – x2. Найдите действительный параметр m, при котором прямая y = mx делит подграфик функции на две равновеликие части. 12. При каких действительных значениях параметра a уравнение
a (2x + 2 –x) = 5 имеет одно решение?
1. Утверждение является ложным. Заметим, что x2 + 9 – 6x = (x–3)2 и для x = 3 получим (x–3)2 = 0, следовательно, $ x, x = 3 Î R при котором x2 + 9 – 6x не будет строго больше нуля. 2.
3. Например:
4. Найдем каноническое уравнение окружности: 5.
6.
7. Найдем производную функции f :
Найдем критические точки функции f : f'(x) = 0 Þ x = 0 (заметим, что для " xÎ R Определим знак производной и интервалы монотонности: для x < 0, f '(x) > 0 то есть при xÎ(– ¥,0] функция возрастает, для x > 0, f '(x) < 0, следовательно, при xÎ[0, + ¥) функция убывает. 8.
9. Используя теорему Виета и условия задания, получим систему уравнений:
10.
CD = 2Rsin(a - b)
Обозначим за DE = h высоту трапеции. Тогда
AB = 2R sin(180o – (a + b)) = 2Rsin(a + b).
DE = BD sinb = 2Rsina × sinb
таким образом,
= 2R2 sin2a × sin2b. Следовательно, 11.
Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = 2x – x2 si y = mx: Поскольку получим откуда (2 – m)3 = 4, 2 – m = , то есть, Ответ: m = 2 – . 12. Так как 2x + 2 –x > 0, следует, что уравнение имеет решения только при a > 0. Тогда уравнение примет вид
2x + 2 –x = 5/a .
Поскольку функция f : R ® R,
f(x) = 2x + 2 –x
является четной и строго возрастающей, последнее уравнение имеет единственное решение если и только если
x = 0, откуда N 1 – 2 балла N 2 – 4 балла N 3 – 4 балла N 4 – 4 балла N 5 – 5 баллов N 6 – 6 баллов N 7 – 5 баллов N 8 – 6 баллов N 9 – 7 баллов N 10 – 9 баллов N 11 – 10 баллов N 12 – 10 баллов всего: 72 балла Оценка "10" – 69-72 балла "9" – 63-68 баллов "8" – 54-62 балла "7" – 42-53 балла "6" – 31-41 балл "5" – 23-30 баллов "4" – 15-22 балла "3" – 7-14 баллов "2" – 2-6 баллов "1" – 0-1 балл |