Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2002 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Министерство образования Республики Молдова Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 2002 Реальный профиль

Время работы: 180 минут.

1. Определите истинность высказывания ”(∀)x ∈ ℝ, x^{2} + 9 − 6x > 0”.

2. Вычислите log_{2+\sqrt{3}}(2 − \sqrt{3})^{2}.

3. Постройте в одной системе координат графики функций f, g : [−3, 3] ⟶ ℝ, для которых выполняются условия f(x) < g(x) и f′(x) > g′(x).

4. Найдите расстояние от центра окружности x^{2} + y^{2} + 6x + 10y − 135 = 0 до начала координат.

5. При каких действительных значениях x и y числа z_{1} = x^{2}+4y−yi и z_{2} = 4+y−\frac{2}{i}−x^{2}i будут сопряженными?

6. Решите уравнение \sqrt{log_{3}(9x − 3)} = log_{3} (x − \frac{1}{3}).

7. Найдите интервалы монотонности функции f : ℝ ⟶ ℝ, f(x) = \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 1}}.

8. Отношение площади основания конуса к площади его осевого сечения равно π. Найдите угол наклона образующей к плоскости основания конуса.

9. Найдите корни многочлена P (X) = X^{3} − 15X^{2} + 74X − 120, если известно, что один из его корней является средним арифметическим двух других корней.

10. Вокруг трапеции описана окружность. Боковая сторона трапеции образует с большим основанием угол α, а диагональ трапеции образует с этим основанием угол β. Найдите отношение площади круга, ограниченного данной окружностью, к площади трапеции.

11. Задана функция f : [0, 2] ⟶ ℝ, f(x) = 2x−x^{2}. Найдите действительный параметр m, при котором прямая y = mx делит подграфик функции на две равновеликие части.

12. При каких действительных значениях параметра a уравнение a(2^{x} + 2^{−x}) = 5 имеет одно решение?

Решения

1. Утверждение является ложным. Заметим, что x^{2} + 9 − 6x = (x − 3)^{2} и для x = 3 получим (x − 3)^{2} = 0, следовательно, ∃ x, x = 3 ∈ ℝ, при котором x^{2} + 9 − 6x не будет строго больше нуля.

2. log_{2+\sqrt{3}}(2 − \sqrt{3})^{2} = 2 log_{2+\sqrt{3}} |2 − \sqrt{3}| = 2 log_{2+\sqrt{3}}(2 − \sqrt{3}) =

= 2 log_{2+\sqrt{3}} \frac{(2 − \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})} = 2 log_{2+\sqrt{3}} \frac{1}{(2 + \sqrt{3})} = 2 log_{2+\sqrt{3}}(2 + \sqrt{3})^{−1} =

= −2 log_{2+\sqrt{3}}(2 + \sqrt{3}) = −2.

3. Например:

[figure: y; x; g; f; −3; 0; 3]

Действительно, поскольку g — строго убывающая функция, получим g′(x) < 0 и, так как f — строго возрастающая, f′(x) > 0, следовательно, g′(x) < f′(x) (x ∈ [−3, 3]).

4. Найдем каноническое уравнение окружности:

x^{2} + y^{2} + 6x + 10y − 135 = 0 ⇔ (x^{2} + 6x + 9) − 9 + (y^{2} + 10y + 25) − 25 − 135 = 0 ⇔

⇔ (x + 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 169.

Следовательно, координаты центра окружности O_{1}(−3; −5). Используя формулу расстояния между двумя данными точками, получим: d = \sqrt{(−3 − 0)^{2} + (−5 − 0)^{2}} = \sqrt{34}.

5. z_{2} = 4 + y − \frac{2}{i} − x^{2}i = 4 + y − \frac{2i}{i^{2}} − x^{2}i = (4 + y) + (2 − x^{2})i.

Так как z_{1} = \overline{z_{2}}, то \{ \begin{matrix}Re z_{1} = Re z_{2}, \\ Im z_{1} = −Im z_{2}, \end{matrix} следовательно, \{ \begin{matrix}x^{2} + 4y = 4 + y, \\ −y = x^{2} − 2, \end{matrix} откуда

y = 1 и x^{2} = 1, то есть x = ±1, y = 1.

Ответ: x = 1, y = 1 или x = −1, y = 1.

6. \sqrt{log_{3}(9x − 3)} = log_{3} (x − \frac{1}{3}) ⇔ \sqrt{log_{3} 3(3x − 1)} = log_{3} \frac{(3x − 1)}{3} ⇔

⇔ \sqrt{log_{3}(3x − 1) + 1} = log_{3}(3x − 1) − 1 ⇔ \{ \begin{matrix}log_{3}(3x − 1) + 1 = (log_{3}(3x − 1) − 1)^{2}, \\ log_{3}(3x − 1) − 1 ≥ 0, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}log_{3}^{2}(3x − 1) − 3 log_{3}(3x − 1) = 0, \\ log_{3}(3x − 1) ≥ 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}log_{3}(3x − 1) = 0, \\ log_{3}(3x − 1) = 3, \end{matrix} \\ log_{3}(3x − 1) ≥ 1, \end{matrix} ⇔

⇔ log_{3}(3x − 1) = 3 ⇔ 3x − 1 = 27 ⇔ x = \frac{28}{3}.

7. Найдем производную функции f:

f′(x) = 4 · ((x^{2} + 1)^{− \frac{1}{2}} )′ = 4 · (−\frac{1}{2}) (x^{2} + 1)^{− \frac{3}{2}} · 2x = −\frac{4x}{(x^{2} + 1)\sqrt{x^{2} + 1}}.

Найдем критические точки функции f: f′(x) = 0 ⇒ x = 0 (заметим, что для ∀x ∈ ℝ ∃ f′(x)).

Определим знак производной и интервалы монотонности: для x < 0, f′(x) > 0, то есть при x ∈ (−∞, 0] функция возрастает, для x > 0, f′(x) < 0, следовательно, при x ∈ [0, +∞) функция убывает.

8.

[figure: A; B; C; S]

Пусть BC = AC = r — радиус конуса, SB = l — его образующая, SC = h — высота. Поскольку площадь основания конуса равна S_{осн.} = πr^{2}, площадь осевого сечения

S_{△SAB} = \frac{1}{2} · 2r · h = rh и \frac{S_{осн.}}{S_{△SAB}} = π, следует, что \frac{πr^{2}}{rh} = π, то есть r = h. Таким

образом, прямоугольный треугольник SCB является равнобедренным и, значит, ∠SBC (угол между образующей и основанием конуса) равен 45^{o}.

9. Используя теорему Виета и условия задания, получим систему уравнений:

\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} = 15, \\ x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} = 74, \\ x_{1}x_{2}x_{3} = 120, \\ x_{1} + x_{3} = 2x_{2}, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}2x_{2} + x_{2} = 15, \\ x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} = 74, \\ x_{1}x_{2}x_{3} = 120, \\ x_{1} + x_{3} = 2x_{2}, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}x_{2} = 5, \\ 5x_{1} + x_{1}x_{3} + 5x_{3} = 74, \\ x_{1}x_{3} = 24, \\ x_{1} + x_{3} = 10, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x_{2} = 5, \\ x_{1} + x_{3} = 10, \\ x_{1}x_{3} = 24, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x_{1} = 4, \\ x_{2} = 5, \\ x_{3} = 6. \end{matrix}

10.

[figure: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{........................}^{........................}^{.........................}^{.........................}^{........................}^{.......................}^{.......................}^{........................}^{.........................}^{.........................}^{........................}^{........................}^{........................}^{........................}^{.........................}^{.........................}^{........................}^{.......................}^{.......................}^{........................}^{.........................}^{.........................}^{........................}^{........................} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; A; B; C; D; E; ^{.. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; α; ^{.. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .}; ^{.. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .}; β]

Так как около трапеции ABCD описана окружность, следует, что трапеция является равнобедренной. Следовательно, ∠DAB = ∠CBA = α, AC = BD. Тогда ∠DBC = α−β. Пусть радиус окружность равен R. По теореме синусов получим:

CD = 2R sin(α − β)
AB = 2R sin(180^{o} − (α + β)) = 2R sin(α + β).

Обозначим за DE = h высоту трапеции. Тогда

DE = BD sin β = 2R sin α · sin β,

таким образом,

S_{трап.} = \frac{AB + CD}{2} · DE = \frac{2R sin(α − β) + 2R sin(α + β)}{2} · 2R sin α · sin β =

= \frac{2R(sin(α − β) + sin(α + β))}{2} · 2R sin α sin β = 2R^{2} · 2 sin α · cos β · sin α · sin β =

= 2R^{2} sin^{2} α · sin 2β.

Следовательно,

\frac{S_{круга}}{S_{трап.}} = \frac{πR^{2}}{2R^{2} sin^{2} α · sin 2β} = \frac{π}{2 sin^{2} α · sin 2β} .

11.

[figure: y; x; .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .^{............}^{.............}^{..............}^{...............}^{..................}^{.....................}^{........................}^{...........................}^{..............................}^{.................................}^{....................................}^{.......................................}^{...........................................}..............................................; y = mx; f(x) = 2x − x^{2}; O; 1; 2; A; B; C]

Найдем площадь подграфика функции f:

S_{OACB} = ∫_{0}^{2}(2x − x^{2})dx = (x^{2} − \frac{x^{3}}{3} ) |_{0}^{2} = \frac{4}{3}.

Найдем абсциссу точки C:

2x − x^{2} = mx ⇒ x^{2} + (m − 2)x = 0 ⇒ [ \begin{matrix}x_{1} = 0, \\ x_{2} = 2 − m. \end{matrix}

Так как x_{2} ∈ [0, 2] ⇒ 0 ≤ 2 − m ≤ 2, откуда m ∈ [0, 2].

Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = 2x−x^{2} и y = mx:

S_{OAC} = ∫_{0}^{2−m}(2x−x^{2} −mx)dx = [ (2 − m)\frac{x^{2}}{2} − \frac{x^{3}}{3} ] |_{0}^{2−m} = \frac{(2 − m)^{3}}{2} − \frac{(2 − m)^{3}}{3} = \frac{(2 − m)^{3}}{6} .

Поскольку S_{OAC} = \frac{1}{2}S_{OACB}, получим \frac{(2 − m)^{3}}{2} = \frac{2}{3}, откуда (2 − m)^{3} = 4, 2 − m = \sqrt[3]{4},

то есть, m = 2 − \sqrt[3]{4}. Заметим, что m = 2 − \sqrt[3]{4} ∈ [0, 2], значит, удовлетворяет условиям задания.

Ответ: m = 2 − \sqrt[3]{4}.

12. Так как 2^{x} + 2^{−x} > 0, следует, что уравнение имеет решения только при a > 0. Тогда уравнение примет вид

2^{x} + 2^{−x} = \frac{5}{a}.

Поскольку функция f : ℝ ⟶ ℝ, f(x) = 2^{x}+2^{−x} является четной и строго возрастающей,

последнее уравнение имеет единственное решение если и только если x = 0, откуда a = \frac{5}{2}.

Оценочная схема

Максимальное число баллов N 1 — 2 балла N 2 — 4 балла N 3 — 4 балла N 4 — 4 балла N 5 — 5 баллов N 6 — 6 баллов N 7 — 5 баллов N 8 — 6 баллов N 9 — 7 баллов N 10 — 9 баллов N 11 — 10 баллов N 12 — 10 баллов всего: 72 балла

Оценка ”10” — 69-72 балла ”9” — 63-68 баллов ”8” — 54-62 балла ”7” — 42-53 балла ”6” — 31-41 балл ”5” — 23-30 баллов ”4” — 15-22 балла ”3” — 7-14 баллов ”2” — 2-6 баллов ”1” — 0-1 балл