Экзамен по математике на бакалавра, 2001, технический профиль

Министерство Образования и Науки
Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 2001
Технический профиль

Время работы: 180 минут.

1. Между какими последовательными целыми числами находится число ?

2. Привести пример функции, которая не определена в точке x = 3, но имеет конечный предел в этой точке.

3. Определите четвертый член в разложении бинома .

4. Окружности, заданные уравнениями x² + y² = -4x и x² + y² = 4y имеют общую хорду. Напишите уравнение прямой, содержащую эту хорду.

5. Дан многочлен P(x) = x³ - 2x² - 7x - 3. Найдите остаток деления многочлена P(x) на бином x - a, где a = 3 - i.

6. Решить неравенство .

7. Вычислить объем тела вращения, определенного функцией f(x) = -x² + 4x, если x Î [0;2].

8. Определите радиус описанной окружности прямоугольного треугольника с длиной одного катета равной 5см и радиусом вписанной окружности, равным 2см.

9. Решить уравнение

10. При каких значениях действительного параметра m функция f : R ® R, f(x) = 2(m²x + 3) - x(21 - mx) имеет минимум в точке x = 0,5.

11. Решить систему уравнений в множестве действительных чисел:

12. Площадь диагонального сечения четырехугольной правильной пирамиды равна площади основания. Определите объем пирамиды, если длина бокового ребра равна 5см.

Решения

1. Так как 49 < 143 < 343, то (логарифмическая функция f(x) = log_ax при a Î (0;1) строго убывает) или

то есть число

находится между целыми последовательными числами -3 и -2.

2. Например, f : R \ {3} ® R, . Действительно,

3. Используя формулу (k + 1)-го члена в разложении бинома (a + b)ⁿ

где n = 6, k + 1 = 4, откуда k = 3,

, получим

4. Решая систему уравнений

получим точки пересечения окружностей: A(0;0) и B(-2;2). Напишем уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

откуда y = -x. Таким образом, уравнение прямой, содержащей данную хорду, есть y = -x.

5. Поскольку P(3 - i) = (3 - i)³ - 2(3 - i) - 7(3 - i) - 3 = 27 - 27i + 9i² - i³ - 18 + 12i - 2i² -
- 21 + 7i - 3 = -22 - 7i, следует, что остаток деления данного многочлена на x - a, где a = 3 - i равен -22 - 7i.

7. Используя формулу для определения объема тела вращения, образованного вращением вокруг оси Ox подграфика функции f : [a,b] ® R

получим

Пусть ABC - прямоугольный треугольник (AC^BC) с AC = 5см и OD = OE = OF = = r = 2см. (O - центр вписанной в треугольнике ABC окружности). Пусть BF = x. Тогда BD = x и поскольку CE = 2см, (OECD - квадрат), то AE = AF = 3см и AB = 3 + x. Используя теорему Пифагоры, получим

5² + (2 + x)² = (3 + x)²,

откуда x = 10см. Следовательно, гипотенуза AB = 3 + 10 = 13(см), а радиус описанной окружности

(см) (центр описанной прямоугольному треугольнику окружности находится в середине гипотенузы).

9. Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения находится, решая систему неравенств

откуда x Î (¥;-3) È (-3;3) È (5;+¥).

В ОДЗ уравнение эквивалентно уравнению

или

откуда получим

Учитывая ОДЗ рассмотрим два случая:

x Î (¥;-3). Тогда |x + 3| = -(x + 3) и уравнение примет вид 5(x - 3) = -(x - 5)(x + 3). Решив полученное квадратное уравнение x² + 3x - 30 = 0 найдем и (не удовлетворяет условию x < -3).
x Î (-3;3) È (5;+¥). Тогда |x + 3| = x + 3 и уравнение примет вид
5(x - 3) = (x - 5)(x + 3)
или x² - 7x = 0, откуда x₁ = 0 и x₂ = 7.

Таким образом, множество решений данного уравнения есть .

10. Данная функция, f(x) = mx² + (2m² - 21)x + 6 для m ¹ 0, представляет собой квадратный трехчлен, который имеет минимум в точке , если

(ветви параболы направлены вверх и ее вершина находится в точке

). Решая систему, получим m = 3.

При m = 0 функция f линейная функция и не имеет минимума. Следовательно m = 3.

11. Сложив первые два уравнения получим . Умножив первое уравнение на 2 и сложив с третьим уравнением получим: . Из полученной системы следует или y = 16. Далее sinx = 1, откуда . Подставив x и y например в первое уравнение, получим z² = 9, откуда z = ±3. Таким образом

12.

Пусть SABCD - правильная четырехугольная пирамида с SB = SC = SD = SA = 5см, AB = a (сторона основания), SO^AC (h = SO - высота пирамиды). Тогда , . S_ABCD = a². Согласно гипотезе , откуда . Из прямоугольного треугольника SOC получим

или

, откуда a² = 10 и

(см).

Таким образом