Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 2000 Профиль: физика-математика, экономика, информатика-математика
Время: 180 минут.
1. Определить, какому числовому множеству принадлежит значение выражения (5 очков) 2. Пусть даны функции f : R ®
R, f(x) = x2 - 3x + 2; g :
R ® R, g(x) =
2x - 3.
Найдите 3. При каких значениях действительного параметра a уравнение имеет решения? (6 очков) 4. Вычислить длину кривой x2 + 5x + y2 = 0. (7 очков) 5. Решить неравенство D(x) ≥ 0 где
6. Определить показатель степени, в котором нужно возвести используя формулу бинома Ньютона, так чтобы (8 очков) 7. Вычислить интеграл 8. Центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит его высоту на отрезки длины 5 см и 3 см. Найдите длины сторон треугольника. (9 очков) 9. При каких значениях действительного параметра m,
функция f : R ® R,
10. Разложить на простые множители в C многочлен P(X) = X 4 + 13X 2 + 36. (9 очков) 11. Площадь диагонального сечения правильной прямоугольной пирамиды равна S. Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол b. Найдите объем пирамиды. (12 очков) 12. При каких значениях действительного параметра a, система 1. Заметим, что и получим Замечание: N М Z М Q М R М C ... (см. и варианты 1999 года). 2. Используя определение сложной функции получим 3. Уравнение asinx + bcosx = c имеет решения если и только если (следует из метода вспомогательного угла). Следовательно, данное уравнение имеет решения лишь при откуда a О [-2,2]. 4. Так как то данная кривая есть окружность радиуса с центром в точке M. Используя формулу для определения длины окружности, получим 5. Используя свойство определителей, получим
Неравенство D(x) ≥ 0 примет вид (2x - 1)(x +
1)2 ≥ 0. Используя метод интервалов
6. Используя формулу для k-го слагаемого в разложении бинома Ньютона (a + b)n: 7. Подинтегральная функция есть дробно-рациональная функция. Учитывая что корни трехчлена знаменателя есть действительные числа кратности один, разложим функцию на простые дроби Согласно формуле Ньютона-Лейбница 8. Пусть ABC - равнобедренный треугольник
(AB = BC), BD - высота
(BD^AC)
Так как прямоугольные треугольники BOE и ABD подобны (РB - общий), то Поскольку BD - высота опущенная на основание равнобедренного тркугольника ABC, то BD - медиана и AC = 2AD = 12(см). Таким образом AB = BC = 10 см, AC = 12 см. 9. Функция f : X ® R, X М R монотонно убывает на X если f ў(x) ≤ 0 для любого x О X. Следовательно Поскольку ex > 0 для любого x О R, неравенство примет вид Следовательно: 25 - 4(3 - m) ≤ 0, откуда 10. Рассмотрим биквадратное уравнение 11.
Пусть SABCD - правильная четырехугольная пирамида (ABCD
квадрат), площадь DSAC = S,
РSAC =
b, O - центр квадрата ABCD.
Пусть AO = a. Тогда AC = 2a;
12. Из первого уравнения системы следует y = x и x > 0 (выражение определено лишь для y > 0 - см. Формулы, Словари, Модуль). Тогда второе уравнение примет вид
Таким образом, a О
{-2}И[-1,2).
|