Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Министерство Образования и Науки Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 2000

Профиль: физика-математика, экономика, информатика-математика

Время: 180 минут.

1. Определить, какому числовому множеству принадлежит значение выражения

\frac{\sqrt{9 − 4\sqrt{5}} + 1}{\sqrt{5} − 1}. (5 очков)

2. Пусть даны функции f : R ⟶ R, f(x) = x^{2} − 3x + 2; g : R ⟶ R, g(x) = 2x − 3. Найдите f(g(x)). (4 очка)

3. При каких значениях действительного параметра a уравнение \sqrt{3} cos x + sin x = a имеет решения? (6 очков)

4. Вычислить длину кривой x^{2} + 5x + y^{2} = 0. (7 очков)

5. Решить неравенство D(x) ≥ 0 где

D(x) = | \begin{matrix}−1 & x & x \\ x & −1 & x \\ x & x & −1 \end{matrix} |

(8 очков)

6. Определить показатель степени, в котором нужно возвести \sqrt{2} + \sqrt{3}, используя

формулу бинома Ньютона, так чтобы \frac{T_{3}}{T_{4}} = \frac{\sqrt{6}}{4}. (8 очков)

7. Вычислить интеграл

∫_{0}^{1} \frac{−7x − 4}{3x^{2} + 5x + 2}dx.

(9 очков)

8. Центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит его высоту на отрезки длины 5 см и 3 см. Найдите длины сторон треугольника. (9 очков)

9. При каких значениях действительного параметра m, функция f : R ⟶ R, f(x) = e^{x}(m − 3x − x^{2}) монотонно убывает на R? (10 очков)

10. Разложить на простые множители в C многочлен P (X) = X^{4} +13X^{2} +36. (9 очков)

11. Площадь диагонального сечения правильной прямоугольной пирамиды равна S. Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол β. Найдите объем пирамиды. (12 очков)

12. При каких значениях действительного параметра a, система

\{ \begin{matrix}y + ln \frac{|y|}{y} = x \\ y + 2(x + a)^{2} = x + 2a + 4 \end{matrix}

имеет единственное решение? (13 очков)

Решения

1. Заметим, что \sqrt{9 − 4\sqrt{5}} = \sqrt{4 + 5 − 2 · 2\sqrt{5}} = \sqrt{(2 − \sqrt{5})^{2}} = |2 − \sqrt{5}| = \sqrt{5} − 2 и получим

\frac{\sqrt{9 − 4\sqrt{5}} + 1}{\sqrt{5} − 1} = \frac{\sqrt{5} − 2 + 1}{\sqrt{5} − 1} = \frac{\sqrt{5} − 1}{\sqrt{5} − 1} = 1.

Таким образом, значение данного выражения − натуральное число.

Замечание: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C … (см. и варианты 1999 года).

2. Используя определение сложной функции получим

f(g(x)) = (2x − 3)^{2} − 3(2x − 3) + 2 = 4x^{2} − 12x + 9 − 6x + 9 + 2 = 4x^{2} − 18x + 20.

3. Уравнение a sin x + b cos x = c имеет решения если и только если

|\frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} | ≤ 1 (следует из метода вспомогательного угла). Следовательно, данное урав-

нение имеет решения лишь при |\frac{a}{2}| ≤ 1, откуда a ∈ [−2, 2].

4. Так как x^{2} +5x+y^{2} = 0 ⇔ x^{2} +2· \frac{5}{2}x+ \frac{25}{4} − \frac{25}{4} +y^{2} = 0 ⇔ (x+ \frac{5}{2})^{2} +y^{2} = (\frac{5}{2})^{2}, то

данная кривая есть окружность радиуса R = \frac{5}{2} с центром в точке M (−\frac{5}{2}; 0). Используя формулу для определения длины окружности, получим

l = 2πR = 2π \frac{5}{2} = 5π(ед.длины ).

5. Используя свойство определителей, получим

\begin{matrix}D(x) = | \begin{matrix}−1 & x & x \\ x & −1 & x \\ x & x & −1 \end{matrix} | = | \begin{matrix}2x − 1 & 2x − 1 & 2x − 1 \\ x & −1 & x \\ x & x & −1 \end{matrix} | = (2x − 1) | \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ x & −1 & x \\ x & x & −1 \end{matrix} | = \\ = (2x − 1) | \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ x + 1 & 0 & x + 1 \\ x + 1 & x + 1 & 0 \end{matrix} | = (2x − 1)(x + 1)^{2} | \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} | = (2x − 1)(x + 1)^{2} \end{matrix}

Неравенство D(x) ≥ 0 примет вид (2x − 1)(x + 1)^{2} ≥ 0. Используя метод интервалов

[figure: −; −; +; −1; \frac{1}{2}]

получим x ∈ \{−1\} ∪ [\frac{1}{2}; +∞).

6. Используя формулу для k-го слагаемого в разложении бинома Ньютона (a + b)^{n},

T_{k+1} = C_{n}^{k}a^{n−k}b^{k}, (k = \overline{0, n} )

получим

\frac{T_{3}}{T_{4}} = \frac{C_{n}^{2}(\sqrt{2})^{n−2}(\sqrt{3})^{2}}{C_{n}^{3}(\sqrt{2})^{n−3}(\sqrt{3})^{3}} = \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{3}} \sqrt{2} · \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{4}

или, учитывая что C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n − k)!},

\frac{\frac{n(n − 1)}{2}}{\frac{n(n − 1)(n − 2)}{2 · 3}} = \frac{3}{4},

откуда следует n − 2 = 4 и n = 6.

7. Подинтегральная функция есть дробно-рациональная функция. Учитывая что корни трехчлена знаменателя есть действительные числа кратности один, разложим функцию на простые дроби

\frac{−7x − 4}{3x^{2} + 5x + 2} = \frac{−7x − 4}{3 (x + \frac{2}{3}) (x + 1)} = \frac{A}{3x + 2} + \frac{B}{x + 1} = \frac{A(x + 1) + B(3x + 2)}{(3x + 2)(x + 1)}.

Используя метод неопределенных коэффициэнтов, найдем A = 2 и B = −3. Следовательно

\begin{matrix}∫ \frac{−7x − 4}{3x^{2} + 5x + 2}dx = ∫ (\frac{2}{3x + 2} − \frac{3}{x + 1}) dx = 2 ∫ \frac{dx}{3x + 2} − 3 ∫ \frac{dx}{x + 1} = \\ = \frac{2}{3} ln |3x + 2| − 3 ln |x + 1| + C. \end{matrix}

Согласно формуле Ньютона-Лейбница

∫_{0}^{1} \frac{−7x − 4}{3x^{2} + 5x + 2}dx = (\frac{3}{2} ln |3x + 2| − 3 ln |x + 1|)|_{0}^{1} =

= \frac{2}{3}(ln 5 − ln 2) − 3 ln 2 = \frac{2}{3} ln 5 − \frac{11}{3} ln 2.

8. Пусть ABC − равнобедренный треугольник (AB = BC), BD − высота (BD ⊥ AC) O ∈ BD − центр вписанной окружности в △ABC, OB = 5 см, OD = 3 см и, следовательно, BD = 8 (см). Пусть E − точка касания стороны AB с окружностью. Тогда OE ⊥ AB и следовательно △BOE − прямоугольный. Так как OE = OD = 3, BO = 5, согласно теореме Пифагоры

BE = \sqrt{BO^{2} − OE^{2}} = \sqrt{25 − 9} = 4(см).

[figure: A; D; C; B; E; O]

Так как прямоугольные треугольники BOE и ABD подобны (∠B − общий), то

\frac{AB}{BO} = \frac{BD}{BE} = \frac{AD}{OE},

откуда

\begin{matrix}AB = \frac{BO · BD}{BE} = \frac{5 · 8}{4} = 10(см), \\ AD = \frac{BD · OE}{BE} = \frac{8 · 3}{4} = 6(см). \end{matrix}

Поскольку BD − высота опущенная на основание равнобедренного тркугольника ABC, то BD − медиана и AC = 2AD = 12(см).

Таким образом AB = BC = 10 см, AC = 12 см.

9. Функция f : X ⟶ R, X ⊂ R монотонно убывает на X если f′(x) ≤ 0 для любого x ∈ X. Следовательно

f′(x) = e^{x}(m − 3x − x^{2}) + e^{x}(−3 − 2x) = −e^{x}(x^{2} + 5x − m + 3) ≤ 0.

Поскольку e^{x} > 0 для любого x ∈ R, неравенство примет вид

x^{2} + 5x − m + 3 ≥ 0.

Последнее неравенство справедливо для любого x ∈ R, если и только если ее дискриминант неположителен (см. Формулы, Словари, Квадратный трехчлен).

Следовательно: 25 − 4(3 − m) ≤ 0, откуда m ≤ −\frac{13}{4}.

10. Рассмотрим биквадратное уравнение

x^{4} + 13x^{2} + 36 = 0,

корни которого (во множестве комплексных чисел) есть x_{1} = −2i, x_{2} = 2i, x_{3} = −3i, x_{4} = 3i. Следовательно

X^{4} + 13X^{2} + 6 = (X + 2i)(X − 2i)(X + 3i)(X − 3i).

11.

[figure: A; B; C; D; O; S]

Пусть SABCD − правильная четырехугольная пирамида (ABCD − квадрат), площадь △SAC = S, ∡SAC = β, O − центр квадрата ABCD. Пусть AO = a. Тогда AC = 2a; SO = AO · tg β = a tg β (из прямоугольного треугольника SAO) и площадь треугольника SAC

S = \frac{1}{2}AC · SO = \frac{1}{2}2a · a tg β = a^{2} tg β

откуда a^{2} = S ctg β и a = \sqrt{S ctg β}. Следовательно AB^{2} = a^{2}+a^{2} = 2a^{2} = 2S ctg β (площадь основания пирамиды), SO = a tg β = \sqrt{S ctg β} · tg β (высота пирамиды) и

V = \frac{1}{3}S_{ABCD} · SO = \frac{2}{3}S ctg β · \sqrt{S ctg β} · tg β = \frac{2}{3}S\sqrt{S ctg β}(куб.ед.)

12. Из первого уравнения системы следует y = x и x > 0 (выражение ln \frac{|y|}{y} определено

лишь для y > 0 − см. Формулы, Словари, Модуль). Тогда второе уравнение примет вид

2(x + a)^{2} = 2a + 4 или x^{2} + 2ax + a^{2} − a − 2 = 0.

Последнее уравнение имеет единственное решение, если

D = 4a^{2} − (a^{2} − a − 2) = 0 ⇒ a = −2 и x = 2 (x > 0)

и единственное положительное решение, если

[ \begin{matrix}a^{2} − a − 2 < 0, \\ \{ & \begin{matrix}a^{2} − a − 2 = 0, \\ −a > 0 \end{matrix} \end{matrix}

откуда a ∈ [−1; 2).

Таким образом, a ∈ {−2} ∪ [−1, 2).