Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, июнь, 1999 Профиль: химия-биология, химия-физика I Вариант 1. Пусть дана функция Решение. Таким образом, f(log23) = 3/8. 2. Напишите уравнение второго порядка с действительными корнями, произведение которых равнялось бы 4. Решение. Пусть x1 = 1, x2 = 4. Тогда x1·x2 = 1·4 = 4, x1+x2 = 5 и, используя обратную теорему Виета, получим квадратное уравнение 3. Пара действительных чисел (x;y) удовлетворяет равенству x - i = yi. Определить действительные значения a, при которых данная пара удовлетворяет и равенству x - i2 = 2a - y. Решение. Имеем x - i = yi Ы x-i(y+1) = 0. Используя определение равенства двух комплексных чисел (Rez1 = Rez2 и Imz1 = Imz2), получим систему
Поскольку i2 = -1, 4. Какой член разложения бинома не содержит a? Решение. Поскольку запишем бином в форме Используя формулу биноминального коэффициента Следовательно, 5. При каких значениях действительного параметра p функция f(x) = cos x - px + 2 монотонно возрастает на R. Решение. f ў(x) = (cos x - px + 2)ў = -sin x - p. Функция f монотонно возрастает на R, если Поскольку -1 ≤ sin x ≤ 1 для x О R, неравенство sin x ≤ -p имеет решения x О R, если и только если -p ≥ 1 или p ≤ -1. 6. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно непараллельным сторонам и равно 16см, а диагональ перпендикулярна непараллельной стороне. Найти длину диагонали и площадь трапеции.
Решение. Пусть РCDA = РBCA = a (равнобедренная трапеция). Из прямоугольного треугольника ACD (AC^CD) следует РCAD = 90°-a и РCAD = РBCA (внутренние накрест лежащие углы). Поскольку AB = BC = 16 следует, что треугольник ABC - равнобедренный и РBAC = РBCA = 90°-a. Таким образом, AC - биссектриса угла BAC и Находим высоту CE трапеции: 7. При каких действительных значениях параметра a справедливо равенство Решение. Определим первые три производные функции f : 8. Определите первообразную функции график которой проходит через точку A(0;4). Решение. Используя свойства неопределенного интеграла, получим 9. Решить неравенства , где a - действительный параметр, a > 0. Решение.
Решая вторую систему совокупности, получим
10. Величина угла между высотой правильной треугольной пирамиды и апофемой боковой грани равна 30°. Найти объем пирамиды, если длина апофемы равна 12см.
Решение. Пусть SO - высота пирамиды, SD - апофема (SD^BC). Тогда AD^BC и SO^AD Из прямоугольного треугольника SOD |