Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1

Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie 2009 Profilul umanist, arte, sport

Timp alocat: 180 minute.

In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

1. Scrieti in casetele numerele log_{7}8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata.

<

2. Pe desen este reprezentat graficul functiei f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − x^{3}. Scrieti in caseta multimea tuturor valorilor lui x, pentru care f(x) ≤ −2.

x ∈

[figure: x; y; −3; −2; −1; O; 1; 2; 3; −4; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 4; 5; .^{........................................}^{....................................}^{.................................}^{..............................}^{..........................}^{.......................}^{...................}^{................}^{............}^{.........}^{......}^{..}... . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .; . ^{....................................} ^{.................................} ^{..............................} ^{...........................} ^{........................} ^{.....................} ^{..................} ^{...............} ^{.............} ^{..........} ^{.......} ^{......}; ^{.. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .^{.....}; . ^{..........} ^{.............} ^{...............} ^{..................} ^{....................} ^{.......................} ^{..........................} ^{............................} ^{...............................} ^{.................................} ^{....................................} ^{.......................................} ^{.........................................} ^{............................................}]

3. Daca x ∈ ℝ si x^{2} · \sqrt[3]{x} = x^{n}, atunci n = .

4. Daca sectiunea axiala a conului circular drept este un triunghi echilateral, atunci generatoarea conului formeaza cu planul bazei un unghi, masura caruia este egala cu .

. ^{....} ^{.....} ^{.........} ^{............} ^{...............} ^{...................} ^{......................} ^{.........................} ^{.............................} ^{................................} ^{...................................} ^{.......................................}^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . .}^{.. . . . .. . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . ..} .^{.......................}.^{................................}..^{.......................}^{............}.^{.........}^{........}.^{.............}^{.........}.^{.......}..^{...................}^{...............}^{....}.^{......}^{.....}..^{..}. S B O  C

5. In mapa ”Matematica” a calculatorului lui Eugen se contin 8 fisiere la geometrie si 12 – la algebra. Care este probabilitatea ca un fisier din aceasta mapa, deschis la intamplare, este la geometrie?

6. Fie polinomul P (X) = 2X^{3} − 3iX + a, a ∈ ℂ. Determinati valoarea lui a, daca se stie ca α = 1 + i este radacina a polinomului P (X).

7. Aflati cardinalul multimii solutiilor naturale ale inecuatiei \frac{4}{x − 2} ≤ \frac{3}{x − 4}.

8. Determinati perimetrul trapezului isoscel cu lungimile bazelor egale cu 9 cm si 5 cm, iar masura unghiului ascutit este egala cu 30^{o}.

9. Determinati intervalele de monotonie ale functiei f : ℝ^{∗} → ℝ, f(x) = x^{2} − \frac{2}{x}.

10. Intr-o piramida patrulatera regulata din piciorul inaltimii se duce o perpendiculara la o muchie laterala. Aceasta perpendiculara formeaza cu inaltimea piramidei un unghi de masura egala cu 60^{o}. Determinati volumul piramidei, daca lungimea perpendicularei este egala cu 12 cm.

.

.....................

.

...............................

.

...............................

.......

.

................

. .

....................

...

.

.................

.

.

..................

......

.

.........

..........

. .

.....

...

.

11. Fie functia f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 4. Una dintre primitivele functiei f trece prin

punctul A (1; −\frac{3}{2}). Scrieti ecuatia tangentei la graficul acestei primitive, punctul de tangenta

fiind intersectia graficului acestei primitive cu axa ordonatelor.

12. Rezolvati in ℝ ecuatia (2x^{2} − x + 1) · |log_{2}x| = −log_{2}x.

Solutii

1. log_{7} 8 < ln 8, deoarece log_{7} 8 = \frac{ln 8}{ln 7}, iar ln 7 > ln e = 1.

2. x ∈ {−1} ∪ [2, +∞).

3. x^{2} · \sqrt[3]{x} = x^{n} ⇔ x^{2} · x^{\frac{1}{3}} = x^{n} ⇔ x^{2+ \frac{1}{3}} = x^{n} ⇔ n = \frac{7}{3}.

4. 60^{o} (in triunghiul echilateral unghiurile sunt de 60^{o}).

5. Numarul total al fisierelor din mapa ”Matematica” este egal cu 8+12 = 20 (numarul total de cazuri), iar numarul fisierelor la geometrie – 8 (numarul cazurilor favorabile evenimentului ”fisier deschis la intamplare esle la geometrie”). Cum avem schema evenimentelor echiprobabile, aplicand formula probabilitatii clasice, vom obtine:

p = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}.

Raspuns: p = \frac{2}{5}.

6. Cum P (1 + i) = 0, se obtine: 2(1 + i)^{3} − 3i(1 + i) + a = 0 ⇔ 2(1 + 3i + 3i^{2} + i^{3}) − 3i − 3i^{2} + a = 0 ⇔ ⇔ 2(−2 + 2i) − 3i + 3 + a = 0 ⇔ −4 + 4i − 3i + 3 + a = 0, de unde a = 1 − i.

7. Aplicam metoda intervalelor:

\frac{4}{x − 2} ≤ \frac{3}{x − 4} ⇔ \frac{4(x − 4) − 3(x − 2)}{(x − 2)(x − 4)} ≤ 0 ⇔ \frac{x − 10}{(x − 2)(x − 4)} ≤ 0.

2  ^{4}  ^{10} − +  −  +

Asadar S = (−∞; 2) ∪ (4; 10]. Cum S ∩ ℕ = {0; 1; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, rezulta cardS_{ℕ} = 8.

8.

30^{o}^{.. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .} D  E  C A  B

Fie ABCD – trapez isoscel cu AB = 5 cm, CD = 10 cm si m(∠ADC) = 30^{o}. Coboram

AE⊥CD. Deoarece trapezul este isoscel ED = \frac{CD − AB}{2} = \frac{9 − 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 (cm). Din triunghiul dreptunghic △AED obtinem:

AD = \frac{ED}{cos 30^{o}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} (cm).

Aflam perimetrul trapezului:

P = AB + BC + CD + AD = 5 + \frac{4\sqrt{3}}{3} + 9 + \frac{4\sqrt{3}}{3} = 14 + \frac{8\sqrt{3}}{3} (cm).

9. Aflam punctele critice din f′(x) = 0:

f′(x) = (x^{2} − \frac{2}{x})′ = 2x + \frac{2}{x^{2}} = 2\frac{x^{3} + 1}{x^{2}} = 2\frac{(x + 1)(x^{2} − x + 1)}{x^{2}}.

Din f′(x) = 0 ⇒ x = −1.

Cercetam semnul derivatei, utilizand metoda intervalelor:

−1  ^{0} −  +  + ↘  ↗  ↗

Asadar, f(x) este crescatoare pe [−1; 0) si pe (0; +∞) si f(x) este descrescatoare pe (−∞; −3].

10.

60^{o}^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .} . ^{.................} . ^{..............} ^{.............} . ^{..........................} ^{..........} . ^{................} . ^{....} . . ^{........................} . ^{..........} ^{..........................} . ^{.......} ^{.........} . ^{.....................} . A  C O D  B  K V

Fie AB = a, V O⊥AC, V O = h – inaltimea piramidei, OK⊥V C, OK = 12 cm, m(∠V OK) = 60^{o}.

Din △OKC, dreptunghic in K, avem:

OC = \frac{OK}{cos(∠KOC)} = \frac{12}{cos 30^{o}} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} (cm),

iar din △V KO, dreptunghic in K, avem:

V O = \frac{OK}{cos 60^{o}} = \frac{12}{\frac{1}{2}} = 24 (cm).

Cum AC = 2OC (inaltimea cade in centrul de simetrie a bazei), rezulta

AC = 2 · 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3} (cm).

Din △ABC, dreptunghic in B, avem: AB^{2}+BC^{2} = AC^{2}, a^{2}+a^{2} = (16\sqrt{3})^{2} , 2a^{2} = 256·3, a^{2} = 128 · 3 si a = 8\sqrt{6} (cm).

Aflam volumul piramidei:

V = \frac{1}{3}a^{2}h = \frac{1}{3} · (128 · 3) · 24 = 128 · 24 = 3072 (cm^{3}).

11. Aflam integrala nedefinita din functia f:

∫ f(x)dx = ∫ (3x − 4)dx = \frac{3}{2}x^{2} − 4x + C.

Cum una din primitive contine punctul (1; −\frac{3}{2}) avem −\frac{3}{2} = \frac{3}{2} · 1^{2} − 4 · 1 + C, de unde

C = 1 si F (x) = \frac{3}{2}x^{2} − 4x + 1.

Aflam ordonata punctului de intersectie a primitivei cu axa ordonatelor:

F (0) = 0 − 4 · 0 + 1 = 1.

Scriem ecuatia tangentei la graficul functiei F (x) = \frac{3}{2}x^{2} − 4x + 1 in punctul (0; 1):

y − F (x_{0}) = F′(x_{0})(x − x_{0})

sau y − 1 = −4x, 4x + y − 1 = 0.

Raspuns: 4x + y − 1 = 0.

12. (2x^{2} − x + 1) · |log_{2} x| = − log_{2} x ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}(2x^{2} − x + 1) log_{2} x = − log_{2} x \\ x ≥ 1 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}(2x^{2} − x + 1) (− log_{2} x) = − log_{2} x \\ 0 < x < 1 \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}(2x^{2} − x + 2) log_{2} x = 0 \\ x ≥ 1 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}(2x^{2} − x) log_{2} x = 0 \\ 0 < x < 1 \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x ∈ ∅ \\ x = 1 \end{matrix} \\ x ≥ 1 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = 0 \\ x = \frac{1}{2} \\ x = 1 \end{matrix} \\ 0 < x < 1 \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = 1 \\ x = \frac{1}{2} \end{matrix} .

Raspuns: S = \{\frac{1}{2}; 1\}.

Schema de notare

Scor maxim Nr. 1 — 2 puncte Nr. 2 — 2 puncte Nr. 3 — 2 puncte Nr. 4 — 2 puncte Nr. 5 — 4 puncte Nr. 6 — 5 puncte Nr. 7 — 6 puncte Nr. 8 — 5 puncte Nr. 9 — 6 puncte Nr. 10 — 8 puncte Nr. 11 — 8 puncte Nr. 12 — 8 puncte total: 58 puncte