Bacalaureat 2006, Profilul umanist

Ministerul Educatiei, Tineretului si Sportului
Directia Evaluare Invatamant Preuniversitar
Examenul de bacalaureat la matematica, 13 iunie 2006
Profilul umanist

Timp alocat: 180 minute.

I. In itemii 1-5 scrie pe foaia de test in spatiu indicat numai rezultatele. Poti folosi \linebreak Maculatorul pentru efectuari de calcule.

1. In rezultatul efectuarii operatiilor in expresia y⁻²y⁸y⁻⁶ se obtine numarul .

2. Valoarea lui x∈R pentru care xlog₂3 = log₁₀3 este egala cu .

3. Scrie in casetele libere numerele: lg1; π ; astfel incat sa obtii o afirmatie adevarata

4. Daca cercul de raza R si centrul in punctul (−3; 4) este tangent la axa OX, atunci R = .

5. Daca parabola cu varful in punctual (2; 0) si axa de simetrie paralela cu axa OY trece prin punctele (3; 1) si (−3; t), atunci valoarea lui t este egala cu .

II. In itemii 6-9 raspunde la intrebari, scriind argumentarile si raspunsurile in spatiile rezervate.

6. In tabel sunt reprezentate datele cu referinta la timpul si costurile pentru utilizarea Internetului in ziua de duminica intr-o cafenea.

Perioada de timp Costul 1 ora (lei)

0.00-10.00 3,50

10.00-20.00 6,00

20.00-24.00 3,50

Intr-o duminica Ana a utilizat internetul in aceasta cafenea de la orele 8.00 pana la 8.30 si de la orele 9.30 pana la 14.15.
Determina cat a platit Ana in total pentru serviciile de internet in aceasta zi.

7. Rezolva inecuatia .

8. In desenul alaturat este reprezentat un cilindru circular drept. Utilizand datele din desen, determina de cate ori este mai mare aria suprafetei laterale a cilindrului fata de aria sectiunii axiale.

9. Determina pentru care valori ale lui a∈R ecuatia ax² + 2ax − 1 = 0 nu are solutii reale.

III. Rezolva problemele 10-12 si scrie pe foaia de test rezolvarile complete.

10. Trei drepte de ecuatie d₁: y − x − 2 = 0, d₂: y − 3x + 2 = 0, d₃: 3y − kx − 4 = 0 se intersecteaza in acelasi punct Q. Determina valoarea reala a lui k.

11. Pe desen este reprezentat triunghiul ABC. M este mijlocul laturii BC, AN este bisectoarea unghiului BAC, BN⊥AN, AB = 14 si AC = 19. Utilizand datele problemei si desenul, determina lungimea segmentului MN.

12. Se da functia f: R → R, f(x) = x³. Dreapta de ecuatie y = 3x + b este tangenta la graficul functiei f. Determina valorile lui b, unde b∈R.

Solutii

1. Pentru y∈R\{0} se obtine y⁻²y⁸y⁻⁶ = y⁻²⁺⁸⁻⁶ = y⁰ = 1.

2. Cum log₂3 = se obtine xlog₂3 = lg3 ⇔ x = lg3 ⇔ x = lg2.

3. Cum lg1 = 0, π ≈ 3,14, se obtine .

4. Daca cercul O(x₀, y₀) este tangent la axa OX, atunci R = |y₀|. Rezulta R = 4.

5. Ecuatia parabolei cu varful in (2; 0) si axa de simetrie paralela cu axa OY este

y = a(x &minus 2)². Punctul (3; 1) apartine parabolei, prin urmare 1 = a(3 − 2)², de unde a = 1 si ecuatia parabolei date: y = (x &minus 2)². Cum punctul (−3; t) apartine parabolei, rezulta t = (−3 −2)², adica t = 25.

6. S-au folosit a) (ora) a cate 3,50 lei si
b) (ora) a cate 6 lei. Prin urmare costul total:

c =

= 29 lei. Raspuns: 29 lei.

7. Cum = (a³⋅1 − a²⋅1) − 0 = a³ − a², inecuatia devine

a³ − a² ≥ 0 ⇔ a²(a − 1) ≥ 0. Se rezolva utilizand metoda intervalelor si se obtine a∈{0}∪[1; +∞).
Raspuns: a∈{0}∪[1; +∞).

8. Fie R - raza bazei cilindrului, H - inaltimea lui. Atunci aria suprafetei laterale S₁ = 2πRH, aria sectiunii axiale S₂ = 2RH, de unde

Raspuns: de π ori.

9. Fie a≠0. Atinci ecuatia patratica ax² + 2ax − 1 = 0 nu are solutii reale daca Δ = 4a² + 4a < 0. Se rezolva inecuatia si se obtine a ∈ (−1; 0).
Daca a = 0 se obtine ecuatia 0⋅x² + 0⋅x − 1 = 0, ce nu are solutii. Prin urmare ecuatia initiala nu are solutii reale pentru a∈(−1; 0].
Raspuns: a∈(−1; 0].

10. Rezolvand sistemul de ecuatii

se obtine punctul de intersectie Q (2; 4) a dreptelor d₁ si d₂. Cum dreapta d₃ trece la fel prin punctul Q, se obtine: 3⋅4 − k⋅2 − 4 = 0 ⇔ 2k = 8 ⇔ k = 4. Prin urmare, pentru k = 4 dreptele d₁, d₂, d₃ se intersecteaza in punctul Q.
Raspuns: k = 4.

11. Prelungind dreapta BN pana la intersectie cu latura AC si notand punctul de intersectie cu D se obtine triunghiul ABD.
Cum AN⊥BD si AN - bisectoare, rezulta triunghiul ABD - isoscel si AB = BD = 14. Atunci CD = AC − AD = 19 − 14 = 5.
Cum MN - linie medie in ΔBDC (BM = MC, BN = ND) se obtine

Raspuns: MN = 2,5.

12. Cum dreapta de ecuatie y = 3x + b este tangenta la graficul functiei f(x) = x³, rezulta

f '(x₀) = 3, unde x₀ este abscisa punctului de tangenta. Asadar, 3x₀² = 3, de unde x₀ =

1 si y₀ =

1 (ordonata punctului de tangenta).
Pentru x₀ = −1 se obtine −1 = 3⋅(−1) + b, b = 2.
Pentru x₀ = 1 se obtine 1 = 3⋅1 + b, b = −2.
Asadar b∈{−2; 2}.
Raspuns: b∈{−2; 2}.

Schema de notare Scor maxim
    Nr. 1 – 2 puncte
    Nr. 2 – 2 puncte
    Nr. 3 – 2 puncte
    Nr. 4 – 2 puncte
    Nr. 5 – 2 puncte
    Nr. 6 – 3 puncte
    Nr. 7 – 6 puncte
    Nr. 8 – 5 puncte
    Nr. 9 – 6 puncte
    Nr. 10 – 6 puncte
    Nr. 11 – 7 puncte
    Nr. 12 – 7 puncte
    total: 50 puncte

Nota
    "10" – 49-50 puncte
    "9" – 47-48 puncte
    "8" – 44-46 puncte
    "7" – 38-43 puncte
    "6" – 30-37 puncte
    "5" – 18-29 puncte
    "4" – 14-17 puncte
    "3" – 10-13 puncte
    "2" – 5-9 puncte
    "1" – 0-4 puncte