![]()
Ministerul Invatamantului al Republicii Moldova
Examenul de bacalaureat la matematica, 2002 Profilul real
Timp alocat: 180 minute.
1. Determinati valoarea de adevar a propozitiei "(") x Î R, x2 + 9 – 6x > 0 ". 2. Calculati 3. In acelasi reper cartezian de coordonate, reprezentati grafic functiile f, g : [–3,3] ® R, astfel incat f(x) < g(x) si f '(x) > g'(x). 4. Determinati distanta de la centrul cercului de ecuatie x2 + y2 + 6x + 10y – 135 = 0 pana la originea axelor de coordonate. 5. Pentru ce valori reale ale lui x si y numerele
z1 = x2 + 4y – yi si
6. Rezolvati ecuatia
7. Determinati intervalele de monotonie ale functiei f : R ® R,
8. Raportul dintre aria bazei unui con circular drept si aria sectiunii axiale este egal cu p. Determinati masura unghiului format de generatoare si planul bazei. 9. Determinati radacinile polinomului P(X) = X 3 – 15X 2 + 74X – 120, daca se stie ca una din radacini este media aritmetica a celorlalte doua radacini. 10. Unui trapez i se circumscrie un cerc. Masura unghiului format de baza mare si latura laterala este a, iar masura unghiului format de aceeasi baza si diagonala este b. Determinati raportul dintre aria discului marginit de cerc si aria trapezului. 11. Se considera functia f : [0,2] ® R, f(x) = 2x – x2. Determinati parametrul real m, astfel incat dreapta de ecuatie y = mx sa imparta subgraficul functiei in doua multimi de arii egale. 12. Pentru care valori ale parametrului real a ecuatia
a (2x + 2 –x) = 5 admite o singura radacina?
1. Propozitie falsa. Se observa ca x2 + 9 – 6x = (x–3)2 si cum pentru x = 3 se obtine (x–3)2 = 0, rezulta ca $ x, x = 3 Î R astfel incat x2 + 9 – 6x nu este strict mai mare ca zero. 2.
3. De exemplu:
4. Se determina ecuatia canonica a cercului: 5.
6.
7. Se determina derivata functiei f :
![]() Se determina punctele critice functiei f : f'(x) = 0 Þ x = 0 (se observa ca pentru " xÎ R Se determina semnul derivatei si intervalele de monotonie: pentru x < 0, f '(x) > 0 si deci pentru xÎ(– ¥,0] functia este crescatoare, pentru x > 0, f '(x) < 0 si, prin urmare, pentru xÎ[0, + ¥) functia este descrescatoare. 8.
9. Se utilizeaza teorema Viette, conditia problemei si se obtine:
10.
CD = 2Rsin(a - b)
Fie DE = h – desemneaza inaltimea trapezului. Atunci
AB = 2R sin(180o – (a + b)) = 2Rsin(a + b).
DE = BD sinb = 2Rsina × sinb
si astfel
![]() ![]() = 2R2 sin2a × sin2b. Prin urmare: ![]() 11.
![]()
Se determina aria figurii marginite de graficele functiilor f(x) = 2x – x2 si y = mx: ![]() ![]() Cum ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Raspuns: m = 2 – ![]() 12. Cum 2x + 2 –x > 0, rezulta ca ecuatia admite solutii numai pentru a > 0. Atunci ecuatia se scrie
2x + 2 –x = 5/a .
Cum functia f : R ® R,
f(x) = 2x + 2 –x este o functie para si strict crescatoare,
ultima ecuatie are o singura solutie daca si numai daca x = 0, de unde a = 5/2.
Nr. 1 – 2 puncte Nr. 2 – 4 puncte Nr. 3 – 4 puncte Nr. 4 – 4 puncte Nr. 5 – 5 puncte Nr. 6 – 6 puncte Nr. 7 – 5 puncte Nr. 8 – 6 puncte Nr. 9 – 7 puncte Nr. 10 – 9 puncte Nr. 11 – 10 puncte Nr. 12 – 10 puncte total: 72 puncte Nota "10" – 69-72 puncte "9" – 63-68 puncte "8" – 54-62 puncte "7" – 42-53 puncte "6" – 31-41 puncte "5" – 23-30 puncte "4" – 15-22 puncte "3" – 7-14 puncte "2" – 2-6 puncte "1" – 0-1 puncte ![]() |